Операції псевдообернення та проектування

В даному розділі даються основні поняття з класичної лінійної алгебри. Буде дано одне з кількох визначень псевдооберненої матриці, через яку знаходиться загальний розв’язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Також будуть наведені деякі методи обчислення псевдообернених прямокутних матриць [1].

1.1. Псевдообернені оператори

Розглянемо систему лінійних алгебраїчних рівнянь

де , вектор розмірності . Систему (1.1) можна ще представити у векторному вигляді

Тут введені наступні позначення

При розв'язанні системи алгебраїчних рівнянь можливі наступні варіанти розв'язків.

1Існує єдиний розв'язок системи (1.1), тобто існує єдиний вектор , який задовольняє систему векторних рівнянь (1.2) (мал. 1.1).

2 Існує множина розв'язків системи (1.1) (мал. 1.2).

Тобто існує множина векторів , які задовольняють систему (1.1).

3Розв'язку системи (1.1) не існує, але можна вказати єдиний вектор, який буде знаходитись на найближчій відстані до всіх гіперплощин системи (1.1) (мал. 1.3).

Мал. 1.3

4Розв'язку системи (1.1) не існує, але можна вказати множину векторів, які будуть знаходитись на найближчій відстані до всіх гіперплощин системи (1.1) (мал. 1.4).

Для матриці розмірності в полі дійсних чисел псевдо-обернена матриця розмірності визначається наступним чином.

1.2. Алгоритми псевдоінверсії матриць

Існує декілька методів представлення псевдооберненої матриці [1, 5]. Наведемо деякі з них.

1.2.1. Метод скелетизації матриць

Для будь-якої матриці розмірності можливий такий розклад

де , і мають відповідно розмірності . Тоді

1.2.2. Метод сингулярного представлення

Кожна прямокутна матриця розмірності допускає сингулярне представлення у виді

де, - нормовані власні вектори матриці ,тобто

- нормовані власні вектори матриці , тобто

Псевдообернена до матриця має наступне сингулярне представлення