Принцип максимума і оптимальне керування динамічною системою В. Леонтьєва

Pозглядається відкрита динамічна система ( модель) В. Леонтьєва стан якої в кожен момент часу t визначається n- вимірним вектором

х(t)= (x1(t),x2(t),…,xn(t)), який характеризує валовий випуск економіки з n галузями. Збалансована система динамічних рівняннь “витрат-випуску”

В. Леонтьєва має вигляд

x - A õ - [ d õ ( t) / d t ) ] = ó ( t ),

де x = ( x 1, x2,...., x n ) – означає вектор валового випуску економіки з n галузями ,A=I – А- матриця Леонтьєва, А=( a ij )- n n –матриця, яка описує структуру міжгалузевих зв’язків; =( bij )- n  n – матриця яка характеризує структуру основного капіталу, основних фондів; y (t)- вектор кінцевого попиту ( вектор споживання) [1].

Динамічна модель витрат- випуску (1) може бути представлена як система керування [2]

u(t)- функція керу-вання.Задача оптимального керування динамічною системою В. Леонтьєва полягає в тому, щоб на даному скінченному проміжку часу ( ) знайти такий вектор керування u(t) із Rn при якому система ( 2 ) переходить із заданого початкового стану x(t0)=x0 в заданий кінцевий (запланований) стан x(t1)=x1 за час Т=t1-t0. При цьому випуклий функціонал - інтеграл достатку

досягає свого максимального значення. Необхідно відмітити, що в функціоналі ( 3 ) є множник дисконтинування, який свідчить про те, що негайне споживання важливіше ніж в майбутньому, W(u(t))- функція корисності [ 3 ].

Таким чином, керована динамічна система В. Леонтьєва дозволяє дати прогноз розвитку всіх галузей економіки так, щоб за певний період часу досягти заданого рівня їх росту.

Покладемо

і розглянемо розв’язок в вимірному просторі для кожного керування u(t). Нехай К – сукупність кінцевих точок траекторії в вимірному просторі, які відповідають довільним допустимим керуванням u(t), t є (t0, t1). Якщо система керована, то множина К випукла та замкнута [4]. При цьому необхідно врахувати природні обмеження: споживання невідємне і змінюється в межах від до , де -деякі задані додатні числа.

Розглянемо керовану автономну систему в загального вигляду

або у векторній формі , де y(t)={y1(t),y2(t),…,yn(t)}-вектор координат стану, u(t)={u1(t),u2(t),…,un(t)}-вектор керування, вектор початкових умов.

Якщо вести заміну змінних вектора стану системи

де нові змінні, при цьому i=1,…,n,то вона набуває вигляду (5) з правими частинами

Зазначимо, що система ( 1 ), а також (2) має додатній зростаючий розв’язок, якщо функція керування u(t) змінюється в межах від до таким чином , що для довільних t , де При цьому споживання у(t)=u(t) невід’ємне і не перевищує випуск.

Розглянемо функціонал

де - множники Лагранжа, які визначаються граничними умовами на правому кінці фазової траекторії.

Нехай -допоміжні змінні що задовільняють систему рівняннь

.