Умовні ймовірності, незалежні випадкові події

Умовна ймовірність. Нехай ( , Р ) ймовірнісний простір.  простір елементарних подій,   -алгебра підмножин  (-алгебра випадкових подій), Р()  ймовірність, яка визначена -алгебрі підмножин , Р(В) > 0, В . Умовною ймовірністю події А (А ) при умові, що відбулася подія В , називається величина .

Формула множення ймовірностей.Якщо Р(В) > 0, то

Р(А В) = Р(В) Р(А В).

Незалежні випадкові події. Випадкові події А та В (А  , В  ) називаються незалежними, якщо

Р(А В) = Р(В) Р(А).

Незалежні в сукупності випадкові події. Випадкові події А1 , А2 , …, Аn (Аi, i = 1, 2, …, n) називається незалежними в сукупності, якщо

при будь-яких k=1, 2, …, n та і1 і2 … іk n. Якщо ці рівності виконуються при к=2, то події А1, А2,.., Аn називаються попарно незалежні.

Задача 1. В урні 2 білі і 3 чорні кулі. З урни підряд виймають дві кулі. Знайти ймовірність того, що обидві кулі білі.

Розв’язування. Позначемо: А- поява двох білих куль.

Подія А є добутком двох подій А= А1 А2 ,

де А1 –поява білої кулі при першому вийманні,

А2- поява білої кулі при другому вийманні.

По теоремі множення ймовірностей

Р ( А)= Р(А1) Р(А2/ А1)= 0,1.

Задача 2. В урні 2 білі і 3 чорні кулі. З урни виймають дві кулі, але після першого виймання куля повертається в урну, і кулі в урні перемішуються, після чого виймається друга куля. Знайти ймовірність того, що обидві кулі білі.

Розв’язування. В даному випадку події А1 та А2 незалежні і

Р(А)= Р (А1) Р ( А2 )= =0,16.

Задача 3. Серед усіх родин з двома дітьми обрано одну. Описати простір елементарних подій і випадкові події: А= { в родині є хлопчик і дівчинка },

В={ в родині не більше однієї дівчинки}. Всі елементарні події однаково ймовірні. Обчислити Р(А), Р( В), Р(А  В ) і довести, що події А та В незалежні.

Задача 4. Пристрій, який працює на прорязі часу t , складається з трьох вузлів,

кожен з яких , незалежно один від одного, може на протязі часу t відмовити

( вийти зі строю). Відмова хоча б одного вузла приводить до відмови прибору в цілому. За час t надійність ( ймовірність безвідмовної роботи ) першого вузла