ФОРМУЛА ПОВНОЇ ЙМОВІРНОСТІ ФОРМУЛА БАЙЄСА

Повна група подій. Випадкові події Н1 , Н2 , …, Нn (Нi , i = 1, 2, …, n) утворюють повну групу подій, якщо:

1)Ні попарно несумісні (Нi окрашені Нj =, i j);

2)

Формула повної ймовірності. Якщо Н1 , Н2 , …, Нn  повна група подій Р(Ні)>0 (i= 1, 2, …, n), то для будь-якої події А (А ) справджується рівність

.

Формула повної ймовірності має місце і для зліченої кількості подій:

якщо {Hi} послідовність випадкових подій така, що

1)Нi Нj =, i j;

2) ,

то для будь-якої події А (А ) виконується рівність

.

Формула Байеса. Якщо Н1 , Н2 , …, Нn  повна група подій Р(Ні)>0 (i= 1, 2, …, n), а В  довільна випадкова подія (В ), така, що Р(В)>0, то

.

Апріорні та апостеріорні ймовірності.Нехай подія А може проходити в різних умовах, про характер яких можна зробити n гіпотез Н1, Н2, …, Нn. Із якихось міркувань відомі ймовірності цих гіпотез Р(Н1), Р(Н2), …, Р(Нn) (апріорні ймовірності), відомі також умовні ймовірності Р(А/Н1), Р(А/Н2), …, Р(А/Нn). Припустимо, що в результаті проведення досліду наступила подія А. Це повинно визвати переоцінку ймовірностей

гіпотез Ні; формули Байєса і дають вираз для умовних ймовірностей Р(Нi/А) (ці ймовірності називають апостеріорними ймовірностями).

Задача1.В урну, яка містить дві кулі, покладена біла куля, після чого з неї навмання вилучена одна куля. Найти ймовірність того, що вилучена куля буде білою, якщо рівноможливі всі можливі припущення щодо початковиого складу білих куль . Розв’язування. Нехай подія А – вилучена біла куля. Можливі наступні припущення (гіпотези) про початковий склад куль: Н1 – білих куль немає. Н2 – одна біла куля. Н3 – дві білі кулі. Оскільки є всього три гіпотези, причому за умовою задачі вони рівноможливі, і сума ймовірностей гіпотез дорівнює одиниці (оскільки вони утворюють повну групу подій), то ймовірність кожної з гіпотез дорівнює 1/3, тобто Р(Н1) =Р(Н2)= Р(Н3)=1/3. Умовна ймовірність того, що буде вилучена біла куля, при умові, що спочатку в урні не було білих куль, Р (А/H1)= . Умовна ймовірність того, що буде вилучена біла куля, при умові, що спочатку в урні булa 1 білa куля, Р (А/H2)= . Умовна ймовірність того, що буде вилучена біла куля, при умові, що спочатку в урні було 2 білі кулі, Р (А/H3)= =1. Шукану ймовірність того, що буде вилучена біла куля, знаходимо за формулою повної ймовірності

Р(А) =Р(А/Н1) Р(Н1) + Р(А/Н2) Р(Н2) +Р(А/Н3) Р(Н3).

Задача2. В урну, яка містить n куль, покладена біла куля, після чого навмання вилучена одна куля . Знайти ймовірність того, що вилучена куля буде білою, якщо рівноможливі всі можливі припущення щодо початкового складу куль по кольру. Відповідь р= .

Задача 3. В піраміді 5 гвинтівок, три які мають оптичний приціл. Ймовірність того, що стрілець влучить мішень при пострілі з гвинтівки з оптичним прцілом дорівнює 0,95;

для гвинтівки без оптичного прицілу ця ймовірність дорівнює 0,7. Знайти ймовірність того, що мішень буде влучена, якщо стрілець зробить один постріл з навмання взятої