Вектори, лінійні операції над ними

Очевидно, що коли дано довільний вектор , то поділивши його на його довжину , одержимо одиничний вектор, наприклад , напрямок якого збігається з напрямком вектора , тобто Вектор, довжина якого дорівнює нулю, називається нульовим. Він не має конкретного напрямку.

2. Лінійні операції над векторами

Сумою двох векторів і називається вектор, що є діагоналлю паралелограма, побудованого на даних векторах як на сторонах паралелограма (рис.2.2).

Оскільки вектор можна переносити паралельно самому собі, то з рис.2.2 зрозуміло, що вектор можна сумістити з відрізком ,

тоді , а сума Звідси випливає, що суму двох векторів можна побудувати за правилом трикутника.

У кінці вектора будуємо вектор і початок вектора з’єднуємо з кінцем вектора . В результаті одержимо вектор , що дорівнює сумі векторів і . Це правило можна узагальнити на суму довільної кількості векторів .

Для знаходження суми заданих - векторів будуємо вектор , в його кінці вектор і т.д., в кінці вектора будуємо вектор . Якщо тепер з’єднати початок вектора з кінцем вектора , одержимо вектор , що дорівнюватиме сумі двох векторів. Це правило додавання векторів називається правилом многокутника.

Якщо задано вектор , то вектор матиме ту саму довжину, що і , але оскільки напрямки цих двох векторів протилежні, то . Тому , тобто різницю векторів завжди можна замінити сумою. Звідси випливає правило віднімання векторів.

Щоб від вектора відняти вектор , треба до вектора додати вектор , або, що те саме, до вектора додати вектор з протилежним знаком.

В результаті множення вектора на скаляр одержується вектор , напрямок якого збігається з напрямком , якщо , і протилежний напрямку , якщо . Довжина одержаного вектора дорівнює . Очевидно, що .

Ділення вектора на скаляр зводиться легко до множення вектора на скаляр:

Поняття “більше”, “менше” для векторів незастосовні. Для лінійних операцій над векторами векторів вірні такі властивості:

10. - комутативний (переставний) закон додавання;

20. - асоціативний (сполучний)закон додавання;

30. - дистрибутивний (розподільчий) закон множення;

40.

і - скаляри (числа).

Вираз

називається лінійною комбінацією векторів. Числа називаються її коефіцієнтами.Лінійні комбінації векторів мають такі властивості: якщо вектори колінеарні, то довільна їх лінійна комбінація їм колінеарна; якщо вектори компланарні, то довільна їх лінійна комбінація з ними компланарна. Це випливає із того, що вектор колінеарний а сума векторів лежить в тій же площині, що й доданки, і навіть на тій же прямій, якщо вони колінеарні.

Приклад. Знайти вектор, що ділить кут між векторами і пополам.