Задачі, що приводять до похідної. Визначення похідної, її геометричний і механічний зміст. Рівняння дотичної і нормалі до графіка функції. Частинні похідні функції декількох змінних, їх геометричний зміст

,

де - неперервна функція на деякому проміжку .

Нехай графік цієї функції (крива ) має вигляд, зображений на рис.6.4. Візьмемо на кривій точку і застосуємо наведене вище означення дотичної до цієї кривої в точці . Для цього на кривій візьмемо точку . Позначимо її координати через ( відповідно прирости і , вони можуть бути і від’ємними числами). Через точки і

проведемо січну і продовжимо її до перетину з віссю . Кут, який утворює січна з додатним напрямом осі , позначимо через .

Нехай точка прямує вздовж кривої до злиття з точкою . Тоді координати точки наближаються як завгодно близько відповідно до координат точки ,

Тобто

Із співвідношень (6.6) випливає, що і , якщо точка .

Нехай , тоді й (внаслідок неперервності функції , а отже, точка ). Припустимо, що розглядувана крива в точці має дотичну .

Нехай, Тоді точка наближається по кривій до злиття з точкою, а січна , обертаючись навколо точки , наближатися до свого граничного положення - прямої , яка згідно з припущенням, і є в цьому випадку дотичною до кривої в точці.

Продовжимо дотичну до перетину з віссю і позначимо кут, який утворює ця дотична з додатним напрямом осі через . Тоді кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює . З другого боку, якщо , то кут прямує до кута .

Отже, внаслідок неперервності тангенса , проте . Тому приходимо до такого співвідношення:

Ми довели: якщо крива , де - неперервна на проміжку функція, має в точці дотичну

то кутовий коефіцієнт дотичної визначається співвідношенням

Досить важливі задачі з механіки, фізики, геометрії можна розв’язувати за допомогою граничного переходу у відношенні при , тобто за допомогою границі

Тому доцільно вивчити цю границю, зокрема вказати способи її обчислення. При цьому треба величини і розглядати абстрактно, не вкладаючи в них конкретного змісту, тоді й границя (6.10) (в математиці називається похідною) буде абстрактною величиною.

2. Похідна. Механічний та геометричний зміст похідної1. Нехай функція задана на деякому інтервалі . Візьмемо довільну точку і надамо довільного приросту (число може бути як додатнім, так і від’ємним), але такого, щоб точки і належали інтервалу . Обчислимо в точці приріст функції :

Означення. Якщо існує границя відношення приросту функції до приросту аргументу за умови, що прямує до нуля, тобто

то ця границя називається похідною від функції в точці

Для похідної застосовують і такі позначення: або (Лейбніц); або (Коші). У подальшому користуванні позначенням(6.11), яке вперше запропонував французький математик Лагранж.

Якщо функція має похідну в кожній внутрішній точці проміжку , то похідну позначатимемо або, що те саме.