Похідні і диференціали вищих порядків. Функції, задані параметрично, їх диференціювання

Р о з в ’ я з о к. Знаходимо.

Цей результат ще раз диференціюємо, тобто шукаємо

Продиференціювавши ще раз, знаходимо похідну третього порядку:

Від похідної третього порядку можна перейти до похідної четвертого порядку, а від похідної четвертого порядку – до похідної п’ятого порядку і т. д. Взагалі, якщо припустити, що від функції вже визначена похідна - го порядку і остання існує в кожній внутрішній точці проміжку, то можна дати означення похідної - го порядку від функції в точці.

Означення. Похідна першого порядку, якщо вона існує, від похідної - го порядку називається похідною - го порядку, або - ю похідною, позначається одним із символів:

Отже, згідно з означенням похідної - го порядку маємо таку рівність:

а звідси й випливає правило знаходження похідної - го порядку: щоб знайти похідну - го порядку, треба функцію продиференціювати послідовно раз.

Зауважимо, що похідні від першого до четвертого порядку позначають так. Похідні п’ятого, шостого і т. д.

- го порядку.

6.10. Диференціали вищих порядків

Розглянемо на деякому проміжку функцію , яка на цьому проміжку має похідні до - го порядку включно. Тоді для такої функції в кожній точці проміжку існує диференціал

У подальшому диференціал називатимемо диференціалом першого порядку, або першим диференціалом від функції .

Диференціал першого порядку є функція від і отже, якщо функція є, в свою чергу диференційованою на проміжку , то вона (або, те саме, ) має диференціал. Цей диференціал називають диференціалом другого порядку, або другим диференціалом від функції , і позначають .

Отже, за означенням . Підставимо в цю рівність . Матимемо

Оскільки є приріст аргументу і є величина стала, то його можна виносити за знак операції диференціювання. Отже, дістаємо такі формули для диференціала другого порядку:

.

Аналогічно визначаються диференціали третього, четвертого і т. д. порядків. Зокрема, якщо для функції уже означений диференціал - го порядку - й диференціал то диференціалом - го порядку, або - м диференціалом від функції називається диференціал першого порядку від диференціала - го порядку. Диференціал - го порядку визначається символом .

Отже, згідно з означенням

Використовуючи формулу диференціала першого порядку, можна вивести таку формулу для диференціала - го порядку:

При розгляданні диференціала першого порядку була доведена його інваріантна властивість: форма диференціала не змінюється і в тому випадку, коли аргумент функції є, в свою чергу, деякою функцією від .