Похідна за напрямком і градієнт функції, основні властивості

План

•Похідна за напрямком

•Градієнт функції

•Основні властивості

1. Похідна функції за напрямком і градієнт

Нехай - функція, означена в області . Розглянемо деяку точку і деякий напрямок , визначений напрямними косинусами і (тобто і - косинуси кутів, утворених вектором з додатними напрямками осей координат і ). При переміщенні в заданому напрямку точки в точку функція одержує приріст

який називається приростом функції в заданому напрямку.

Якщо є величина переміщення точки, то із прямокутного трикутника одержуємо.

Означення. Похідною функції в заданому напряму називається границя відношення приросту функції в цьому напрямку до величини переміщення при умові, що останнє прямує до нуля, тобто

З цієї точки зору похідні і можна розглядати як похідні функції в додатних напрямках осей координат і . Похідна визначає швидкість зміни функції в напрямку .

Виведемо формулу для похідної , вважаючи, що функція диференційована. Із означення диференціала функції випливає, що приріст функції відрізняється від диференціала функції на вищий порядок малості відносно приросту незалежних змінних. Тому

де і при і. Звідси в силу співвідношень одержуємо

Переходячи до границі в останній формулі при,тобто при і, одержимо формулу для похідної функції в заданому напрямку:

Приклад. Обчислити в точці похідну функції в напрямку, що складає кут з віссю.

Р о з в ’ я з о к.

Зауваження. Для функції її похідна в напрямку дорівнює

При вивчені поведінки функції в даній точці площини аргументів найбільшу зацікавленість являє питання про напрямок найвищого зростання в цій точці. Задача розв’язується за допомогою вектора, який називається градієнтом функції.

Означення. Градієнтом функції в точці в даній точці називається вектор, розміщений в площині аргументів і , який має своїм початком цю точку і має проекції на координатні осі, що дорівнюють значенням частинних похідних функції в цій точці:

Тут - орти координатних осей і.

Теорема. Градієнт диференційованої функції в кожній точці за значенням і напрямком дає найбільшу швидкість зміни функції в цій точці.

Д о в е д е н н я. Запишемо вираз похідної як скалярний добуток двох векторів:

Перший із співмножників є.