Маса лінії. Координати центра ваги плоскої кривої та фігури Приклади застосування означеного інтеграла до розв’язування простих задач механіки, фізики та інших областей. Деякі застосування в економіці

Знехтувавши нескінченно малою вищого порядку, одержимо Остаточно маємо

Тепер, користуючись формулами (10.16), легко записати координати центра ваги фігури. Можна знайти і статичні моменти деяких тіл, якщо вдасться виразити густину у функції однієї змінної. Із формул (10.15) і (10.16) при , одержимо де – довжина дуги,

Помноживши останні дві рівності на, матимемо

У правій частині цих формул маємо величину поверхні обертання кривої навколо осі, що її перетинає, а в лівій – добуток довжини дуги на довжину кола, описаного з центром ваги кривої, тобто (твердження відоме як перша теорема Гюльдіна). Ця теорема дозволяє знайти площу поверхні обертання кривої, центр ваги якої відомий, навколо осі, що її не перетинає. Наприклад, коло радіуса , обертаючись навколо осі, що знаходиться в площині кола на відстані від центра кола, утворює поверхню, яка називається тором. Центром ваги кола є його центр. Отже, а довжина кола, описаного центром ваги . Отже, поверхня тора

Розглядаючи формули (10.16) і (10.18), аналогічно одержимо при

де - площа фігури, що обертається навколо осі, яка її не перетинає, а - об’єм тіла обертання, тобто остання рівність може бути записана як (друга теорема Гюльдіна).

Для прикладу розглянемо паралелограм зі сторонами і кутом між ними. Нехай вісь обертання походить через вершину паралелограма перпендикулярно до сторони . Легко перевірити , що об’єм тіла обертання

1.3. Обчислення моментів інерції

1. Момент інерції плоскої кривої. Момент інерції системи матеріальних точок на площині з масами відносно точки визначається так:Нехай деяка крива задана рівнянням представляє собою матеріальну лінію з лінійною густиною Розіб’ємо лінію на частин довжини де і на кожній частині дуги візьмемо довільну точку з абсцисою . Ордината цієї точки буде Тоді маси цих частин будуть Наближено момент інерції лінії відносно точки буде обчислюватися за формулою Якщо функція та її похідна неперервні на , то при дана сума має границю і ця границя, що виражає визначений інтеграл, і визначає момент інерції матеріальної лінії відносно початку координат:

2. Момент інерції тонкого однорідного стрижня. Розглянемо тонкий однорідний стрижень довжини і обчислимо момент інерції відносно його кінця. Розмістимо стрижень на осі . Тоді момент інерції відносно точки обчислимо за формулою (11.19)

Можна, наприклад, обчислити момент інерції стрижня відносно його середини

3. Момент інерції кола радіуса відносно центра. Оскільки всі точки кола знаходяться на однаковій віддалі від центра, а його маса то момент інерції кола буде

4. Момент інерції круга та циліндра. Розглянемо однорідний круг радіуса і масою Розіб’ємо його на кілець і розглянемо одне із них, внутрішній радіус якого а зовнішній (рис.10.12). Маса цього кільця з точністю до нескінченно малих вищого порядку відносно буде

Момент інерції

цієї маси відносно центра дорівнює

Момент інерції всього круга буде дорівнювати сумі моментів інерції всіх кілець і наближено становитиме Перейшовши до границі при одержимо момент інерції круга відносно центра:

Очевидно, що момент інерції круглого циліндра, радіус основи якого і маса , відносно його осі виражається формулою .

1.4. Обчислення роботи