Обчислення подвійного інтеграла в декартових і полярних координатах

.

Формули (11.18) і (11.19) показують, що обчислення подвійного інтеграла зводиться до послідовного обчислення двох звичайних визначених інтегралів; потрібно тільки пам’ятати, що у внутрішньому інтегралі одна зі змінних при інтегруванні вважається сталою величиною. Формули (11.18) і (11.19) зведення подвійного інтеграла до повторного набирають простого вигляду, коли область буде прямокутником зі сторонами, паралельними осям координат (рис. 11.6). В цьому разі сталими стають межі інтегрування не тільки в зовнішньому, а й у внутрішньому інтегралі:

Отже, подвійний інтеграл можна обчислювати за такою схемою:

1. Спроектувати область на вісь (знайти точки і ).

2. Провести пряму, паралельну осі , яка перетинає межу області в точках входу в область і виходу з неї. Записати рівняння цих меж, тобто рівняння і .

3. Розставити межі інтегрування за змінною і змінною в повторному інтегралі (11.18) і обчислити його.

Зауваження. Якщо область неправильна в напрямі осі , то необхідно таку область розбити прямими , паралельними , на кілька правильних областей.

За аналогічною схемою обчислюється подвійний інтеграл (11.19).

Приклад. Обчислити подвійний інтеграл

де область обмежена лініями (рис. 11.7).

Р о з в ’я з о к. В напрямі осі область правильна. Спроектувавши область на вісь маємо: . Крива входу

Крива входу описується рівнянням , а лінія виходу - рівнянням . За формулою (11.18) маємо:

Якщо змінити порядок інтегрування, то в напрямі осі область буде неправильною. Таку область потрібно розбити на дві області: і (на рис. 11.7 області відповідає фігура , а області - трикутник ). Тоді:

2. Обчислення подвійного інтеграла в полярних координатах

Віднесемо площину, в якій задана область , до полярної системи координат . Нехай полюс лежить у початку декартової системи і полярна вісь збігається з віссю . Тоді декартові координати точки визначаються через полярні за формулами .

Область інтегрування розіб’ємо на елементарні області двома системами координатних ліній: (відповідно концентричні кола з центром у полюсі і промені, які виходять із полюса (рис. 11.8)). При цьому елементарними областями будуть криволінійні чотирикутники. Площа області буде:Припускаючи, що функція неперервна в області , складемо для неї інтегральну суму , вибираючи точки в областях так, щоб вони лежали на середніх колах радіуса , тобто покладемо . Тоді інтегральна сума запишеться так :

У правій частині стоїть інтегральна сума для функції

за змінними і , а тому, переходячи до границі, дістанемо

Це і є формула перетворення подвійного інтеграла від декартових координат до полярних . Вираз називається елементом площі.

Обчислення подвійного інтеграла в полярній системі координат, як і в декартовій, зводиться до послідовного інтегрування за змінними і .