Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння з постійними коефіцієнтами та правою частиною спеціального вигляду

Навіть, не знаходячи чисел і, можна дослідити розв’язок вихідного рівняння на обмеженість. Справді, в разі, коли

загальний розв’язок рівняння

При функція є необмеженою, якщо хоч одне з чисел , відмінне від нуля.

Якщо ж то загальний розв’язок рівняння має вигляд

При функція залишається обмеженою.

Приклад 3. У природі й техніці часто доводиться зустрічатись з коливаннями – механічними, електромагнітними, акустичними. Коливання іноді призводять до небажаних наслідків. Так, раніше пілотам досить часто доводилося зустрічатися з явищем, відомими під назвою флатер, яке спостерігається в авіації. Класичний флатер – це небезпечні коливання конструкції літака. Вібрація верстата може призвести до браку. Під дією вібрації змінюється внутрішня структура металу, що призводить до руйнування конструкції. З коливаннями пов’язані також випадки руйнування мостів, парових турбін. Причина цих катастроф – явище резонансу, який виникає, коли частота так званих власних коливань системи практично збігається з частотою зовнішньої сили. Розглянемо це на прикладі механічних коливань тягара маси що знаходиться на пружній ресорі, нижня точка якої рухається вертикально за законом . Нехай відновлюючи сила пропорційна відхиленню: де жорсткість ресори, - відхилення від рівноваги. Згідно з другим законом Ньютона

Відповідне однорідне рівняння має комплексно спряжені корені:

Загальний розв’язок рівняння вільних коливань або

Коливання, які описуються рівнянням , називаються гармонічними .

Нехай права частина рівняння має вигляд

що часто зустрічається на практиці. У разі, коли частота зовнішньої сили збігається з частотою вільних коливань , має місце резонанс. Справді, в цьому разі частинний розв’язок рівняння слід шукати у вигляді

де сталі і знаходяться методом невизначених коефіцієнтів. Тоді загальний розв’язок рівняння вимушених коливань

Звідси випливає, що при другий доданок справа у рівності необмежений ( тобто амплітуда коливань необмежено зростає), - а це і є явище резонансу, про руйнівну силу якого вже згадувалось.

Резонанс може приносити й користь. Він використовується при створенні вібраційних приладів, в телекомунікаціях, автоматиці. При настроюванні радіоприймача на задану частоту саме завдяки резонансові ми чуємо звук.

Зауваження 4. У розглянутому прикладі при запису рівняння руху не враховувалась сила опору , де стала амортизатор. Якщо враховувати опір, замість рівняння отримують диференціальне рівняння

Згідно з викладеним, рівняння розв’язується або методом варіації довільних сталих, або (в деяких частинних випадках) методом добору, розглянутим раніше.

До рівняння типу зводиться вивчення інших процесів. Так, при дослідженні віброактивності механізмів просування тканини швидкісних промислових швейних машин приходять до вивчення закону руху, що описується рівнянням

де кут повороту, момент інерції, коефіцієнт сил тертя й в’язкого опору, коефіцієнт кутової жорсткості пружини регулятора, - момент рушійних сил.