Властивості степеневих рядів. Неперервність суми. Інтегрування і диференціювання степеневих рядів

План

•Властивості степеневих рядів

•Неперервність суми

•Інтегрування степеневих рядів

•Диференціювання степеневих рядів

1. Властивості степеневих рядів

Теорема 1 (неперервність суми степеневого ряду). Сума степеневого ряду є неперервною всередині проміжку збіжності.

Д о в е д е н н я. Візьмемо деяке додатне Тоді числовий ряд з додатними членами

збігається. Але при члени ряду за абсолютною величиною не більші відповідних членів ряду (13.49). Тому, за ознакою Вейєрштрасса, ряд рівномірно збігається на відрізку і його сума буде неперервною на цьому відрізку.

Наслідок. Якщо границі інтегрування , лежать всередині інтервалу збіжності степеневого ряду , то за теоремою 3 (п.13.9.3) його можна почленно інтегрувати на проміжку , оскільки він буде рівномірно збігатися на , що містить проміжок.

Теорема 2 (диференціювання степеневих рядів). Якщо степеневий ряд

має інтервал збіжності , то ряд

одержаний почленним диференціюванням ряду , має той же інтервал збіжності ; при цьому сума ряду де сума ряду .

Д о в е д е н н я. Доведемо, що ряд рівномірно збігається на відрізку який повністю лежить всередині інтервалу збіжності.

Для цього візьмемо деяку точку таку, що В цій точці ряд (13.39) збігається, значить а тому можна вказати таке постійне число що . Якщо то

Таким чином, члени ряду при за абсолютною величиною менші за члени числового ряду з додатними членами:

За ознакою Даламбера цей ряд збігається:

Отже, ряд рівномірно збігається на відрізку і за теоремою 4 (п.13.9.3) його сума є похідна від суми даного ряду на відрізку , тобто

Оскільки довільну внутрішню точку інтервалу можна помістити в деякий відрізок то звідси випливає, що ряд збігається в довільній внутрішній точці інтервалу

Доведемо тепер, що ряд розбігається поза інтервалом Припустимо, що ряд збігається при деякому Інтегруючи його почленно в інтервалі де ми одержали б, що ряд збігається в точці а це протирічить умовам теореми. Таким чином, інтервал є інтервал збіжності ряду . Теорема повністю доведена.

Ряд (13.50) знову можна почленно диференціювати і продовжити так як завгодно багато разів. Отже, одержимо висновок:

Наслідок. Якщо степеневий ряд збігається в інтервалі то його сума представляє собою функцію, що має всередині інтервалу збіжності похідні довільного порядку, кожна з яких є сумою ряду, одержаного в результаті почленного диференціювання даного ряду відповідне число разів; при цьому інтервал збіжності кожного ряду, одержаного в результаті диференціювання, є той же інтервал