Границя та неперервність функцій багатьох змінних

зауважимо, що значення границі залежить від кутового коефіцієнта прямої, наприклад:

при границя дорівнює

при границя дорівнює і т. д.

Отже, наближаючись до точки (0,0) у різних напрямах, дістаємо різні границі. Це означає, що не існує.

Зауваження. Для функції змінних можна розглядати ! так званих повторних границь.

У частковому випадку для функції двох змінних можна розглядати дві повторні границі в точці :

Наприклад, для функції маємо

Отже, змінювати порядок граничних переходів загалом не можна.

Скажімо, у попередньому прикладі не існує, але повторні границі існують:

Неперервність функцій двох змінних

Означення. Функція називається неперервною в точці, якщо

Означення. Функція неперервною в області (замкненій чи відкритій), якщо вона неперервна в кожній точці цієї області.

Означення. Функцію , визначену на множині , називають неперервною за множиною в точці , якщо

Означення. Точка називається точкою розриву функції , якщо:

1.функція не визначена в точці ;

2.функція не визначена в точці , проте:

• не існує;

• існує, але не дорівнює

Означення. Точка називається точкою усувного розриву функції, якщо існує, але або не визначена в точці , або

Неперервність складеної (складної) функції двох змінних

Означення. Нехай функція визначена на множині ,а змінні і , у свою чергу, залежать від змінних і, причому обидві функції та визначені на множині . Якщо для будь-якого існує значення , то говорять, що на множині визначено складену (складну) функцію де; , --проміжні, , --незалежні змінні.

Приклад. Функція , де Це складена функція, яка визначена на координатній площині. Її можна записати у вигляді

Теорема 1.6. нехай на множині визначено складену функцію , де і нехай функції неперервні в точці , а функція неперервна в точці , де Тоді складена функція неперервна в точці .

Доведення. За умовою теореми функція неперервна. За означенням неперервності функції в точці візьмемо довільне число , тоді існує , що з нерівності