Інтегрування правильних дробів, раціональних дробів, ірраціональостей

Qm (х) = (х- 1)(x- )k • (х2 + px + q)

В цьому випадку дріб розкладається на суму найпростіших дробів І -го II - го та III - го типу

Коефіцієнти A1, B1, B2,…, Bk, D та E знаходяться з тотожності.

Приклад 7. Знайти.

Розв'язування. Підінтегральна функція - це правильний раціональний дріб, знаменник якого містить квадратний двочлен, який не розкладається на множники та один дійсний корінь х = 1, тому цей дріб розкладається на суму найпростіших дробів І та III типу.

Невідомі коефіцієнти А, В та С будемо шукати методом невизначених коефіцієнтів. Для цього праву частину рівності треба привести до спільного знаменника, одержимо:

Знаменники в обох частинах рівні, і тому і чисельники повинні бути рівні, тобто

х = (Ах + В)(х-1)+С (х2+1) x = (A+С)x2 +(B-A)x+С-В

Рівність можлива лише тоді, коли коефіцієнти при однаковому степеню X в обох частинах рівності однакові, тобто

Отже, розклад тепер приймає вигляд:

Інтегруючи цю рівність, одержимо

Інтегрування виразів, що містять ірраціональність.

При інтегровані виразів, що містять дробові степені змінної інтегрування, методом підстановки зводять підінтегральну функцію до раціонального дробу. Розглянемо декілька випадків.

1. Підінтегральна функція є раціональним дробом відносимо , де

- дробове число. В цьому випадку вводять нову змінну , де

q — спільний знаменник дробових показників степеня змінної x .

Приклад 8. Знайти

Розв'язування. Маємо

Спільний знаменник дробових показників степенів змінної x дорівнює 12. Тому зробимо підстановку i ми одержуємо

2. Підінтегральний вираз містить дробові степені лінійного двочлена (ах+b). У цьому випадку доцільно зробити підстановку ,

де q - спільний знаменник дробових показників степенів двочлена.

Приклад 9. Знайти

Розв'язування. Нехай

Тому