Інтегрування раціональних дробів та виразів, що містять ірраціональності

Означення 1. Дріб називається раціональним, якщо його чи¬сельник та знаменник є многочленами, тобто дріб має вигляд

де аі та bk — коефіцієнти многочленів, і = 0, 1, ..., n;

k = 0, 1, 2, ..., m.

Раціональний дріб називається правильним, якщо найвищий показник степеня чисельника n менше відповідного степеня m знаменника. Дріб називається неправильним, якщo .

Якщо дріб неправильний, тоді треба поділити чисельник на знаменник (за правилом ділення многочленів) і одержа¬ти заданий дріб у вигляді суми многочлена та правильного ра¬ціонального дробу, тобто

Означення 2. Найпростішими раціональними дробами І, II, III та IV типу називають правильні дроби вигляду:

Умова означає, що квадратний тричлен х2 + px + q не має дійсних коренів і на множники не розкладається. Те саме можна сказати і про квадратний тричлен x2 + rx + s.

Розглянемо інтегрування найпростіших раціональних дробів. Інтеграли від найпростіших раціональних дробів 1-го та ІІ-го типів знаходять методом безпосереднього інтегрування:

.

При інтегруванні найпростішого дробу ІІІ-го типу треба спочат¬ку в знаменнику виділити повний квадрат, а потім той вираз, що під квадратом, замінити через нову змінну.

Повертаючись до змінної х, та враховуючи, що або одержимо:

Інтеграл від найпростішого дробу типу IV шляхом повторного інтегрування частинами зводять до інтеграла під найпростішого дробу типу III.

У повному курсі вищої алгебри доведена слідуюча теорема.

Теорема 1. Будь-який правильний раціональний дріб розклада¬ється на суму найпростіших раціональних дробів, коефіцієнти яких можна знайти методом невизначених коефіцієнтів.

Отже, інтегрування раціонального дробу зводиться до інтег¬рування многочлена Mn-m (х) (при ) та суми найпростіших дробів. Відмітимо, що вигляд найпростіших дробів визначається коренями знаменника Qm(x). Можливі слідуючі випадки:

1. Корені знаменника дійсні та різні, тобто

В цьому випадку дріб розкладається на суму найпростіших дробів 1-го типу:

Невизначені коефіцієнти А1, А2, ... Аm знаходять з тотожності (1).

2. Корені знаменника дійсні, причому деякі з них кратні, тобто

Тоді дріб розкладається на суму найпростіших дробів І-го та ІІ-го типу

Коефіцієнти А, В1, В2, ..., Вk знаходять з тотожності (2).

3. Корені знаменника дійсні, причому деякі з них кратні, крім того знаменник містить квадратний тричлен, який не роз¬кладається на множники, тобто