Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення

Якщо тотожність справедлива лише при , то вектори лінійно незалежні.

Визначення 2. Визначник, що складається з векторів

називається визначником Вронського.

Теорема 1. Якщо векторні функції лінійно залежні, то визначник Вронського тотожно дорівнює нулю.

Доведення. За умовою існують не всі рівні нулю, такі, що при .

Або, розписавши покоординатно, одержимо

А однорідна система має ненульовий розв’язок тоді і тільки тоді, коли визначник дорівнює нулю, тобто

Теорема 2. Якщо розв’язки - лінійної однорідної системи лінійно незалежні, то визначник Вронського не дорівнює нулю в жодній точці .

Доведення. Нехай, від супротивного, існує точка і .

Тоді система однорідних алгебраїчних рівнянь

має ненульовий розв’язок . Розглянемо лінійну комбінацію розв’язків з отриманими коефіцієнтами

Відповідно до властивості 4, ця комбінація буде розв’язком. Крім того, як випливає із системи алгебраїчних рівнянь, для отриманих : , . Але розв’язком, що задовольняють таким умовам, є . І в силу теореми існування та єдиності ці два розв’язки збігаються, тобто при , або

або розв’язки лінійно залежні, що суперечить умові теореми.

Таким чином, у жодній точці , що і було потрібно довести.

Теорема 3. Для того щоб розв’язки були лінійно незалежні, необхідно і достатно, щоб у жодній точці.

Доведення. Випливає з попередніх двох теорем.

Теорема 4. Загальний розв’язок лінійної однорідної системи представляється у вигляді лінійної комбінації п -лінійно незалежних розв’язків.

Доведення. Як випливає з властивості 3, лінійна комбінація розв’язків також буде розв’язком. Покажемо, що цей розв’язок загальний, тобто завдяки вибору коефіцієнтів можна розв’язати будь-яку задачу Коші або в координатній формі:

Оскільки розв’язки лінійно незалежні, то визначник Вронського відмінний від нуля. Отже, система алгебраїчних рівнянь

має єдиний розв’язок.

Тоді лінійна комбінація

є розв’язком поставленої задачі Коші. Теорема доведена.

Властивість 1. Максимальне число незалежних розв’язків дорівнює кількості рівнянь.

Це випливає з теореми про загальний розв’язок системи однорідних рівнянь, тому що будь-який інший розв’язок може бути представлений у вигляді лінійної комбінації лінійно незалежних розв’язків.