Існування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість

1) Оскільки , то при буде.

2)Оскільки послідовність є фундаментальною, то при буде .

3) І, нарешті,

Таким чином , причому і фіксовані, а можна вибрати як завгодно малим. Отже, а в силу другої аксіоми метричного простору це значить, що.

III. Покажемо, що нерухома точка єдина. Нехай, від супротивного, існують дві точки і : і . Але тоді що суперечить припущенню про стислість оператора.

Таким чином, припущення про неєдиність нерухомої точки помилкове. З використанням теореми про нерухому точку доведемо теорему про існування та єдиність розв’язку задачі Коші диференціального рівняння, розв’язаного відносно похідної.

Теорема (про існування та єдиність розв’язку задачі Коші). Нехай у диференціальному рівнянні функція визначена в прямокутнику

і задовольняє умовам:

1) неперервна по та у;

2) задовольняє умові Ліпшиця по змінній, тобто

Тоді існує єдиний розв’язок диференціального рівняння, який визначений при , і задовольняє умові

Доведення. Розглянемо простір, елементами якого є функції , неперервні на відрізку й обмежені . Введемо метрику. Одержимо повний метричний простір . Замінимо диференціальне рівняння

еквівалентним інтегральним рівнянням

Розглянемо оператор Через те, що , то оператор ставить у відповідність кожній неперервній функції , визначеній при й обмежений також неперервну функцію, визначену при й обмежену.

Перевіримо, чи є оператор оператором стиску.

І оскільки, то оператор є оператором стиску. Відповідно до принципу стислих відображень операторне рівняння має єдиний розв’язок, тобто інтегральне рівняння , чи задача Коші для диференціального рівняння

також має єдиний розв’язок.

Зауваження. Умову Ліпшиця можна замінити іншою, більш грубою, але легше перевіряємою умовою існування обмеженої по модулю частинної похідної в області. Дійсно,

Використовуючи доведену теорему про існування та єдиність розв’язку задачі Коші розглянемо ряд теорем, що описують якісну поведінку розв’язків.

Теорема. (про неперервну залежність розв’язків від параметру) Якщо права частина диференціального рівняння

неперервна по при і при кожному фіксованому задовольняє умовам теореми існування й єдиності, причому стала Ліпшиця не залежить від , то розв’язок , що задовольняє початковій умові, неперервно залежить від .