Однорідні рівняння

1. Загальна теорія

Нехай рівняння має вигляд

Якщо функції та однорідні одного ступеня, то рівня¬ння називається однорідним. Нехай функції та однорідні ступеня, тобто

Робимо заміну. Після підстановки одержуємо

Скоротивши на і розкривши скобки, запишемо

Згрупувавши, одержимо рівняння зі змінними, що розділяються

Взявши інтеграли та замінивши , отримаємо загальний інтеграл .

2. Рівняння, що зводяться до однорідних

Нехай маємо рівняння вигляду

Розглянемо два випадки

1)

Тоді система алгебраїчних рівнянь

має єдиний розв’язок. Проведемо заміну та отримаємо

Оскільки - розв’язок системи алгебраїчних рівнянь, то диференціальне рівняння прийме вигляд

і є однорідним нульового ступеня. Робимо заміну.

Підставимо в рівняння

Одержимо

Розділивши змінні, маємо

І загальний інтеграл диференціального рівняння має вигляд.

Повернувшись до вихідних змінних, запишемо

2) Нехай, тобто коефіцієнти строк лінійно залежні і

Робимо заміну . Звідси .

Підставивши в диференціальне рівняння, одержимо

Розділивши змінні, отримаємо

Загальний інтеграл має вигляд