Зведення визначників до визначника Вандермонда

Визначником Вандермонда порядку n називається визначник вигляду

Розглянемо приклади зведення визначників до визначника Вандермонда.

Приклад 19. Обчислити визначник

Розв’язування. Зрозуміло, що порядок визначника дорівнює n (наприклад, у другому рядку n елементів). Додамо до другого рядка перший:

Далі, в одержаному визначнику до третього рядка додамо другий:

Аналогічно, до четвертого рядка додамо третій. В одержаному після цього визначнику до п’ятого рядка додамо четвертий і т.д. В результаті, після додавання до n-го рядка (n-1)-го одержуємо визначник

Цей визначник є визначником Вандермонда порядку n, а тому

Приклад 20. Обчислити визначник

Розв’язування. Зрозуміло, що порядок визначника дорівнює n +1 (у першому рядку n +1 елементів). Якщо всі рядки визначника записати у зворотному порядку, одержимо визначник Вандермонда порядку n +1. Для обчислення даного визначника будемо переставляти рядки. Як відомо, кожна перестановка двох рядків змінює знак визначника, що означає помноження визначника на –1. Спочатку будемо переставляти останній рядок визначника так, щоб винести його на перше місце і при цьому не міняти взаємне розміщення інших рядків. Для цього переставимо (n +1)-й рядок з n-м, знак визначника змінюється:

Далі, у цьому визначнику n-й рядок переставляється з (n -1)-м и т.д. В результаті, після виконання n таких сусідніх перестановок рядків одержуємо

Далі, в одержаному визначнику переставляємо останній рядок так, щоб винести його на друге місце, не змінюючи взаємне розміщення інших рядків. Для цього потрібно n –1 сусідніх перестановок рядків, тобто

В одержаному визначнику, аналогічно, останній рядок переставляємо на 3 місце за допомогою n –2 сусідніх перестановок і т.д. Нарешті, на останньому кроці переставляємо два останніх рядки і одержуємо

(-1)n(-1)n-1(-1)n-2…(-1)2(-1)1

(-1)n+(n-1)+(n-2)+…+2+1

Одержаний визначник є визначником Вандермонда порядку n +1. Тому

Неважко бачити, що число співмножників у добутку дорівнює .

Дійсно,

У першому з цих добутків n співмножників, у другому n –1 співмножників і т.д. Число всіх співмножників дорівнює n+ (n –1) + (n –2) +...+ 2 + 1 .

У кожному зі співмножників одержаного добутку міняємо знак, тобто помножаємо співмножник на –1. Остаточно одержуємо

Приклад 21. Обчислити визначник

Розв’язування. Зрозуміло, що порядок визначника дорівнює n (у кожному стовпчику n елементів). З рядків визначника будемо виносити множники так, щоб одержати визначник, всі елементи першого стовпчика якого рівні 1. Для цього з першого рядка виносимо множник , з другого рядка множник , нарешті, з останнього рядка множник .