Метод виділення лінійних множників

Метод використовується, коли елементи визначника можна вважати многочленами від одної або кількох змінних. В цьому випадку і самий визначник є многочленом від цих змінних.

В основі метода знаходяться наступні відомі властивості многочленів

1) многочлен від деякої змінної степеня k має не більше ніж k коренів.

2) якщо f(x) – многочлен степеня k і x- корінь цього многочлена, то з многочлена виноситься множник (x- ), тобто многочлен подається у вигляді f(x) = (x-)g(x), де g(x) – многочлен степеня k-1.

3) якщо x=1 і x=2 – корені многочлена f(x) степеня k, 1 2 і, згідно з попередньою властивістю, f(x) = (x-1)g(x), де g(x) – многочлен степеня k-1, то x=2, є коренем многочлена g(x), а тому многочлен f(x) можна подати у вигляді f(x) = (x-1) (x-2)h(x), де h(x) – многочлен степеня k-2.

4)з попередньої властивості випливає, що якщо f(x) – многочлен степеня k, 1, 2,...,k – його різні корені, то f(x) = a(x-1) (x-2)… (x-k), де a – старший коефіцієнт многочлена f(x).

Припустимо, що всі елементи визначника  є многочленами від змінної x. Тоді  також є многочленом від змінної x, тобто = (x). Знаходиться степінь многочлена (x). Для цього проглядаються всі добутки, з яких складається визначник , і серед них визначається той, у якому степінь змінної x максимальний. Припустимо, що (x) є многочленом степеня k. Далі шукаються корені многочлена (x). Це означає, що шукаються ті значення змінної x, при яких многочлен (x), тобто визначник (x), дорівнює нулю. Для цього використовуються властивості визначників. Нехай було знайдено k різних коренів x1, x2,…,xk многочлена (x). Тоді (x) = a(x-x1) (x-x2)… (x-xk). Число a є старшим коефіцієнтом многочлена. Для знаходження числа a знову проглядаються всі добутки, з яких складається визначник , беруться всі добутки, у яких степінь змінної x дорівнює k, і визначається сумарний коефіцієнт при xk по всім цим добуткам. Цей сумарний коефіцієнт співпадає з числом a.

Приклад 12. Обчислити визначник

Розв’язування. Зрозуміло, що порядок визначника дорівнює n+1 (у першому рядку n+1 елементів). Вважаємо елементи a0,a1,…,an сталими величинами, а x – змінною. Тоді кожний елемент визначника , а тому і самий визначник, є многочленом від змінної x, тобто (x). Визначимо степінь многочлена (x). Одним з добутків, з яких складається визначник , є добуток елементів його головної діагоналі. Цей добуток має вигляд a0xn. Кожний елемент визначника є многочленом від змінної x степеня 1 або 0. Число всіх елементів визначника, які є многочленами від x степеня 1 дорівнює n. Тому неможливо знайти добуток, який є многочленом від x степеня, більшого n. Таким чином, добуток елементів головної діагоналі визначника дає максимальний степінь змінної x, а тому (x) є многочленом від x степеня n. Далі шукаємо корені цього многочлена. Якщо x = a1, то перший і другій рядки визначника рівні, а тоді визначник дорівнює нулю. Таким чином, при x = a1 многочлен (x) дорівнює нулю. Це означає, що x = a1 – корінь многочлена (x). Аналогічно, при x = a2 рівні перший і третій рядки визначника і 0, а тому x = a2 – також корінь многочлена (x). Нарешті, при x = an співпадають перший і останній рядки визначника, а тому x = an – також корінь многочлена (x). Ми з’ясували, що (x) є многочленом степеня n від змінної x і знайшли n коренів a1,a2,…,an цього многочлена. Тому (x) = a(x-a1) (x-a2)… (x-an). Залишається визначити старший коефіцієнт a. Для цього шукаємо всі добутки визначника, у яких степінь x дорівнює n. Оскільки у визначнику є лише n елементів, що є многочленами від x степеня 1, а решта елементів є многочленами степеня 0, то всі ці елементи мають бути співмножниками такого добутку. Ці елементи знаходяться на головній діагоналі і займають місця (2,2), (3,3),..., (n+1, n+1) (перше число – номер рядка, друге – номер стовпчика, у яких знаходиться елемент). За правилом будування добутків для визначника, до кожного добутку береться по одному і лише по одному елементу з кожного рядка і кожного стовпчика визначника. Тому до шуканого добутку береться також співмножник, що знаходиться у першому рядку і першому стовпчику визначника, тобто на місці (1,1). Таким чином, єдиний добуток, який дає старший степінь многочлена (x) є добуток елементів головної діагоналі, тобто a0xn. Визначимо знак, з яким цей добуток входить до визначника. Після упорядкування добутку за першим індексом (тобто за номером рядка) другі індекси утворюють перестановку 1,2,..., n, n+1. В цій перестановці 0 інверсій, перестановка парна, знак при добутку +. Таким чином, єдиний добуток визначника, що дає максимальний степінь x, має вигляд a0xn. Тому сумарний коефіцієнт при xn дорівнює a0, тобто a = a0 і, остаточно,

(x) = a0(x-a1) (x-a2)… (x-an).

Приклад 13. Обчислити визначникРозв’язування. Визначник  є многочленом від змінної x, тобто = (x). З’ясуємо степінь цього многочлена. Серед елементів визначника два елементи є многочленами від x степеня 2, решта елементів – многочлени степеня 0. Зрозуміло, що максимальний степінь змінної x можна одержати лише в добутках, серед співмножників яких є два многочлена степеня 2. Таки добутки існують, наприклад, добуток елементів побічної діагоналі. Добуток елементів побічної діагоналі має вигляд 2(5-x2)1(4-x2) = 2(5-x2)(4-x2), тобто є многочленом від x степеня 4. Таким чином, степінь многочлена (x) дорівнює 4. Знаходимо корені цього многочлена. Неважко бачити, що перший і другий рядки співпадають, якщо 5-x2 =1. Звідси x2 = 4, x = 2. Таким чином, при x = 2 і x = -2 визначник дорівнює нулю, а тому x1 = 2 і x2 = -2 – корені многочлена (x). Аналогічно, третій і четвертий рядки визначника співпадають, якщо 4-x2 = 3. Звідси x2 = 1, x = 1. Таким чином, x3 = 1 і x4 = -1. – також корені (x). Для многочлена (x) степеня 4 відомі корені x1 = 2, x2 = -2, x3 = 1 x4 = -1. Звідси (x) = a(x-2)(x+2)(x-1)(x+1) = a(x2-4)( x2-1), де a – старший коефіцієнт. Для знаходження числа a шукаємо всі добутки, яки є многочленами від x степеня 4. Як сказано вище, співмножниками такого добутку є многочлени 5-x2 і 4-x2, тобто елементи визначника, що стоять на місцях (2,3) и (4,1). За правилом будування добутків для визначника, до такого добутку входять співмножники, що знаходяться або на місцях (1,2) і (3,4), або на місцях (1,4) и (3,2). Таким чином, існують два добутки, яки є многочленами степеня 4. Перший добуток має вигляд d1= 3(5-x2)4(4-x2) = 12(x4-9x2+20) = 12x4-108x2+240; другий добуток d2= 2(5-x2)1(4-x2) = 2(x4-9x2+20) = 2x4-18x2+40. З’ясуємо знаки, з якими ці добутки входять до визначника. До добутку d1 входять елементи, що стоять на місцях (1,2), (2,3), (3,4), (4,1). Після упорядкування співмножників за першим індексом другі індекси утворюють перестановку 2, 3, 4, 1. В цій перестановці 3 інверсії, перестановка непарна, знак при добутку . До добутку d2 входять елементи, що знаходяться на місцях (1,4), (2,3), (3,2), (4,1). Після упорядкування співмножників за першим індексом другі індекси утворюють перестановку 4, 3, 2, 1. В перестановці 6 інверсій, перестановка парна, знак при добутку +. Знайдемо сумарний коефіцієнт при x4 в добутках d1 і d2. У добутку d1 коефіцієнт при x4 дорівнює 12, знак при добутку , у добутку d2. коефіцієнт при x4 дорівнює 2, знак при добутку +. Тому сумарний коефіцієнт при x4: a = -12+2=-10, а тому,