Загальні властивості однорідних лінійних диференціальних

Побудована система розв’язків називається нормованою в точці .

Для будь-якого диференціального рівняння існує тільки одна фундаментальна система розв’язків , нормована по моменту.

6. Загальний розв’язок. Число лінійно незалежних розв’язків.

Теорема 4. Якщо (x), (x), ... , - фундаментальна система розв’язків диференціального рівняння, то формула

y = , де, - довільні константи, дає загальний розв’язок диференціального рівняння (5) в області a < x < b,

, тобто в області визначення

диференціального рівняння (5).

Доведення. Якщо (x), (x), - розв’язки диференціального рівняння, то лінійна комбінація (20) теж розв’язок .

Систему можна розв’язати відносно,

в області, так як. Згідно визначення – загальний розв’язок і він містить в собі всі розв’язки диференціального рівняння.

Теорема доведена .

Для знаходження частинного розв’язку такого , що

необхідно все підставити в і визначити , i=1,2,…,n .

Тоді - частинний розв’язок , якщо фундаментальна система розв’язків – нормована в точці , то , тобто

загальний розв’язок в формі Коші .

Зауважимо , що загальний розв’язок диференціального рівняння є однорідна лінійна функція від довільних константТвердження 1. Диференціальне рівняння (5) не може мати більше ніж n лінійно незалежних частинних розв’язків.

Дійсно , нехай ми маємо (n+1) частинний розв’язок . Розглянемо n перших . Якщо вони лінійно залежні , то і всі будуть лінійно залежні , так як

, a < x < b, де всі не дорівнють нулю . Якщо ж вони лінійно залежні, то по теоремі 4. будь-який розв’язок , в тому числі і виражається через , , ... , , тобто = . Так , що (n+1)-ий розв’язок знову виявився лінійно залежним .

Для побудови диференціального рівняння типу (5) по системі лінійно незалежних функцій (x), (x), ... , , які n раз неперервно диференційовані на (a,b) , вронскіан яких , (a,b) необхідно розглянути вронскіан порядку (n+1)

і розкрити цей визначник по останньому стовпцю .

Якщо відомо один частинний ненульовий розв’язок диференціального рівняння (5) , то можна понизати порядок його на одиницю заміною

і диференціального рівняннязапишемо у вигляді

Ми отримали диференціальне рівняння порядку (n-1) .

Якщо маємо к лінійно незалежнихчастинних розв’язків , то диференціальне рівняння (5) можна понизити на к одиниць .