Диференціальні рівняння вищих порядків, що інтегруються в квадратурах

Розглянемо деякі типи диференціальних рівнянь, що інтегруються в квадратурах.

1) Рівняння вигляду

Проінтегрувавши його -раз одержимо загальний розв’язок у вигляді

Якщо задані умови Коші

то розв’язок має вигляд

2) Рівняння вигляду

Нехай це рівняння вдалося записати в параметричному вигляді

Використовуючи основне співвідношення, одержимо

Проінтегрувавши його, маємо

І одержимо параметричний запис рівняння -порядку

Проробивши зазначений процес ще -раз, одержимо загальний розв’язок рівняння в параметричному вигляді

3) Рівняння вигляду

Нехай це рівняння вдалося записати в параметричному вигляді

Використовуючи основне співвідношення, одержуємо

Проінтегрувавши, маємо

І одержали параметричний запис рівняння -порядку

Використовуючи попередній пункт, понизивши порядок на одиницю, запишемо

Проробивши останню процедуру -раз, запишемо загальний розв’язок у параметричному вигляді

4) Нехай рівняння вигляду

можна розв'язати відносно старшої похідної

Домножимо його на й одержимо

Перепишемо його у вигляді

Проінтегрувавши, маємо

Таким чином одержали параметричний запис рівняння -порядку

і повернулися до третього випадку.