Лінійна залежність і незалежність розв’язків. Загальний розв’язок лінійного однорідного рівняння вищого порядку

Визначення. Функції називаються лінійно залежними на відрізку якщо існують не всі рівні нулю сталі такі, що при всіх

Якщо ж тотожність справедлива лише, то функції називаються лінійно незалежними.

Приклад 3.1.1. Функції - лінійно незалежні на будь-якому відрізку, тому що вираз є многочленом ступеню і має не більш, ніж дійсних коренів.

Приклад 3.1.2. Функції, де всі - дійсні різні числа - лінійно незалежні.

Приклад 3.1.3. Функції - лінійно незалежні.

Теорема (необхідна умова лінійної незалежності функцій). Якщо функції - лінійно залежні, то визначник, який називається визначником Вронського, тотожно дорівнює нулю при всіх,

Доведення. Нехай - лінійно залежні. Тоді існують не всі рівні нулю сталі такі, що при буде тотожно виконуватися:

Продиференціювавши -раз, одержимо

Для кожного фіксованого одержимо лінійну однорідну систему алгебраїчних рівнянь, що має ненульовий розв’язоК. А це можливо тоді і тільки тоді, коли визначник системи дорівнює нулю, тобто при всіх.

Теорема ( достатня умова лінійної незалежності розв’язків). Якщо розв’язки лінійного однорідного рівняння - лінійно незалежні, то визначник Вронського не дорівнює нулю в жодній точці .

Доведення. Припустимо, від супротивного, що існує, при якому. Оскільки визначник дорівнює нулю, то існує ненульовий розв’язок лінійної однорідної системи алгебраїчних рівнянь.

Розглянемо лінійну комбінацію з отриманими коефіцієнтами.

У силу третьої властивості ця комбінація буде роз’язком. У силу вибору сталих , розв’язок буде задовольняти умовам

Але цим же умовам, як неважко перевірити простою підстановкою, задовольняє і тотожний нуль, тобто . І в силу теореми існування та єдиності ці два розв’язки співпадають, тобто при , або система функцій лінійно залежна, що суперечить припущенню. Таким чином у жодній точці , що і було потрібно довести .

На підставі попередніх двох теорем сформулюємо необхідні і достатні умови лінійної незалежності розв’язків лінійного однорідного рівняння.

Теорема. Для того щоб розв’язки лінійного однорідного диференціального рівняння були лінійно незалежними, необхідно і достатньо, щоб визначник Вронського не дорівнював нулю в жодній точці , тобто .

Теорема. Загальним розв’язком лінійного однорідного рівняння

є лінійна комбінація - лінійно незалежних розв’язків .

Доведення. Оскільки є розв’язками, то в силу третьої властивості їхня лінійна комбінація також буде розв’язком.

Покажемо, що цей розв’язок загальний, тобто вибором сталих можна розв’язати довільну задачу Коші

Дійсно, оскільки система розв’язків лінійно незалежна, то визначник Вронського відмінний від нуля й алгебраїчна система неоднорідних рівнянь