Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння

Загальний вигляд лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь наступний

1. Властивості розв’язків лінійних неоднорідних рівнянь. Загальний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння

Властивість 1. Якщо - розв’язок лінійного однорідного рівняння, - розв’язок неоднорідного рівняння, то буде розв’язком лінійного неоднорідного диференціального рівняння.

Дійсно, нехай і - розв’язки відповідно однорідного і неоднорідного рівнянь, тобто

тобто - розв’язок неоднорідного диференціального рівняння.

Властивість 2 (принцип суперпозиції). Якщо - розв’язки лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь

то з довільними сталими буде розв’язком лінійного неоднорідного рівняння

Дійсно, нехай - розв’язки відповідних неоднорідних рівнянь, тобто

Склавши лінійну комбінацію з рівнянь і їхніх правих частин з коефіцієнтами одержимо

або, перегрупувавши, запишемо

що і було потрібно довести.

Властивість 3. Якщо комплексна функція з дійсними елементами є розв’язком лінійного неоднорідного рівняння з комплексною правою частиною , то дійсна частина є розв’язком рівняння з правою частиною , а уявна є розв’язком рівняння з правою частиною .

Дійсно, як випливає з умови,

Розкривши дужки, одержимо

А комплексні вирази дорівнюють між собою тоді і тільки тоді, коли дорівнюють окремо дійсні та уявні частини, тобто

що і було потрібно довести.

Теорема. Загальний розв’язок лінійного неоднорідного диференціального рівняння складається з загального розв’язку лінійного однорідного рівняння і частинного розв’язку неоднорідного рівняння.

Доведення. Нехай - загальний розв’язок однорідного рівняння, а частинний розв’язок неоднорідного рівняння.

Тоді, як випливає з властивості I розв’язків неоднорідних рівнянь, , буде розв’язком неоднорідного рівняння. Покажемо, що цей розв’язок загальний, тобто вибором коефіцієнтів можна розв’язати довільну задачу Коші

Дійсно, оскільки загальний розв’язок однорідного рівняння, то лінійно незалежні, а отже визначник Вронського . Звідси, неоднорідна система лінійних алгебраїчних рівнянь

має єдиний розв’язок для довільних наперед обраних значень . Нехай розв’язком системи буде . Тоді, як випливає з вигляду системи, функція є розв’язком поставленому задачі Коші.

Як випливає з теореми для знаходження загального розв’язку лінійного неоднорідного рівняння треба шукати загальний розв’язок однорідного рівняння, тобто будь-які - лінійно незалежні розв’язкі і якийсь частинний розв’язок неоднорідного рівняння. Розглянемо три методи побудови частинного розв’язку лінійного неоднорідного рівняння.