Метод невизначених коефіцієнтів

Якщо лінійне диференціальне рівняння є рівнянням з сталими коефіцієнтами, а функція спеціального виду, то частинний розв’язок можна знайти за допомогою методу невизначених коефіцієнтів.

1) Нехай має вид многочлена, тобто

а) Розглянемо випадок, коли характеристичне рівняння не має нульового кореня, тобто . Частинний розв’язок неоднорідного рівняння шукаємо вигляді:

де - невідомі сталі. Тоді

Підставляючи у вихідне диференціальне рівняння, одержимо

Прирівнявши коефіцієнти при однакових степенях запишемо:

Оскільки характеристичне рівняння не має нульового кореня, то. Звідси одержимо

б) Розглянемо випадок, коли характеристичне рівняння має нульовий корінь кратності. Тоді диференціальне рівняння має вигляд

Зробивши заміну одержимо диференціальне рівняння

характеристичне рівняння якого вже не має нульового кореня, тобто повернемося до попереднього випадку. Звідси частинний розв’язок шукається у вигляді

Проінтегрувавши його -разів, одержимо, що частиний розв’язок вихідного однорідного рівняння має вигляд

2) Нехай має вигляд.

а) Розглянемо випадок, коли - не є коренем характеристичного рівняння. Зробимо заміну

Підставивши отримані вирази у вихідне диференціальне рівняння, одержимо

де - сталі коефіцієнти, що виражаються через і. Скоротивши на, одержимо рівняння

Причому, оскільки - не є коренем характеристичного рівняння, то після заміни , отримане диференціальне рівняння не буде мати коренем характеристичного рівняння . Таким чином, повернулися до випадку I а). Частинний розв’язок неоднорідного рівняння шукаємо у вигляді

А частинний розв’язок вихідного неоднорідного диференціального рівняння у вигляді:

б) Розглянемо випадок, коли - корінь характеристичного рівняння кратності . Це значить, що після, заміни і скорочення на , вийде диференціальне рівняння, що має коренем характеристичного рівняння, число кратності , тобто

Як випливає з пункту I б) частинний розв’язок шукається у вигляді

а частинний розв’язок вихідного неоднорідного диференціального рівняння у вигляді

3) Нехай має вигляд:

де - многочлени степеня і, відповідно, і, наприклад. Використовуючи формулу Ейлера, перетворимо вираз до вигляду:

де - многочлени степеня не вище, ніж . Використовуючи властивості 2 , 3 розв’язків неоднорідних диференціальних рівнянь, а також випадки 2 а) , б) знаходження частинного розв’язку лінійних неоднорідних рівнянь, одержимо, що частинний розв’язок шукається у виглядах: