Розв’язок систем однорідних рівнянь зі сталими коефіцієнтами матричним методом

Досить універсальним методом розв’язку лінійних однорідних систем з сталими коефіцієнтами є матричний метод. Він полягає в наступному. Розглядається лінійна система з сталими коефіцієнтами, що записана у векторно-матричному вигляді

Робиться невироджене перетворення , де вектор - нова невідома векторна функція. Тоді рівняння прийме вигляд

Для довільної матриці завжди існує неособлива матриця , що приводить її до жорданової форми, тобто , де - жорданова форма матриці . І система диференціальних рівнянь прийме вигляд

Складемо характеристичне рівняння матриці

Алгебраїчне рівняння -го ступеня має коренів. Розглянемо різні випадки.

1. Нехай - дійсні різні числа. Тоді матриця має вигляд

І перетворена система диференціальних рівнянь розпадається на - незалежних рівнянь

Розв’язуючи кожне окремо, отримаємо

Або в матричному вигляді

Звідси розв’язок вихідного рівняння має вигляд . Для знаходження матриці треба розв’язати матричне рівняння

де - жорданова форма матриці . Якщо матрицю записати у вигляді

то для кожного з стовпчиків , матричне рівняння перетвориться до

Таким чином, у випадку різних дійсних власних чисел матриця являє собою набір - власних векторів, що відповідають різним власним числам.

2. Нехай - комплексний корінь. Тоді відповідна клітка Жордана має вигляд

рена система диференціальних рівнянь

Неважко перевірити, що розв’язок отриманої системи диференціальних рівнянь має вигляд

Або в матричному вигляді

Таким чином, комплексно-спряженим власним числам відповідає розв’язок де

3. Нехай - кратний корінь, кратності , тобто і йому відповідають лінійно незалежних векторів. Тоді клітка Жордана, що відповідає цьому власному числу, має вид

І перетворена підсистема, що відповідає власному числу , розпадається не дві підсистеми

Розв’язок першої знаходиться з використанням зазначеного в першому пункті підходу. Розглянемо другу підсистему. Запишемо її в координатному вигляді

Розв’язок останнього рівняння цієї підсистеми має вигляд

Підставимо його в передостаннє рівняння. Одержуємо