Розкладність графів. Врівноважені розбиття скінченних графів

Розглянемо скінченний зв'язний граф Gr = (V,E) з множиною вершин V і множиною ребер E. Для довільних двох вершин x,yV позначимо через d(x,y) довжину найкоротшого шляху від x до y. Для довільних вершини xV, підмножини AV і невід'ємного цілого числа m покладемо

Індексом непорожньої підмножини AV називається найменше невід'ємне ціле число m, таке що V=B(A,m). Індекс підмножини A позначимо через ind A.

Відстань dist(A,B) між непорожніми підмножинами А, В множини вершин V визначимо за формулою

Зауважимо, що ind A=dist(A,V) для будь-якої непорожньої підмножини AV.

Індексом розбиття множини вершин V на непорожні підмножини називається максимальний індекс підмножин розбиття.

Розбиття скінченної множини X, |X|=n на r підмножин (1 r n, n=rs+t, 0 t r) називається врівноваженим, якщо існує така нумерація X1, X2, …, Xr підмножин розбиття, для якої

|X1|=|X2|= …= |Xt| = s+1, |Xt+1| = |Xt+2| =…= |Xr| = s

Зокрема, якщо r - дільник числа n, то врівноважене розбиття X - це розбиття X на r частин, що мають однакову кількість елементів.

Переформулюємо деякі з цих означень в хроматичній термінології. Розфарбування множини X r кольорами - це довільне відображення "на": X{1,2,,r}. Кожне таке розфарбування визначає розбиття -1(1) -1(2) -1(r) множини X на непорожні підмножини. З іншого боку, кожне розбиття X=X1X2Xr множини X на непорожні підмножини породжується розфарбуванням , що визначається за правилом: (x)=k тоді і тільки тоді, коли xXk. Розфарбування : X{1,2,,r} назвемо врівноваженим, якщо відповідне розбиття X= -1(1)-1(2)-1(r) є врівноваженим.

Розбиття множини V вершин графа Gr = (V,E) на r підмножин має індекс m тоді і тільки тоді, коли при разфарбуванні : V{1,2,,r}, що відповідає цьому розбиттю, кожна куля B(x,m), xV містить точки усіх r кольорів. Індексом розфарбування називається індекс відповідного розбиття.

Теорема 1. Для будь-яких натуральних чисел r, n, r n і довільного зв'язного графа Gr = (V,E), |V|=n існує розбиття індексу r-1 множини вершин V на r підмножин.

Доведення. Індукцією по числу n покажемо, що існує розфарбування : V{1,2,r}, таке що

для будь-яких xV, k{0,1,…,r-1}. Теорема випливає з цього твердження при k=r-1.

Ми можемо замінити граф його кістяком і вважати, що Gr = (V,E) є деревом. Для n=1 твердження очевидне. Якщо r=n, то можна вибрати довільне розфарбування: V{1,2,r}. Припустимо, що r1 і зафіксуємо будь-яку кінцеву вершину y дерева Gr = (V,E). Тоді B(y,1)={y,z}, де z - єдина суміжна з y вершина дерева Gr = (V,E). Розглянемо граф Gr1(V1,E1), де V1=V \ {y}, E1=E \ {(y,z)}. Позначимо через B1(x,k) кулю радіуса k в графі Gr1(V1,E1) з центром в точці xV1. Оскільки граф Gr1(V1,E1) зв'язний і |V1|=n-1, то за припущенням індукції існує розфарбування 1: V1{1,2,r}, таке що

для всіх xV1, k{0,1,…,r-1}. Зауважимо, що і виберемо максимальне число m{0,1,…,r-2} для якого . Далі виберемо довільне число s{0,1,…,r}, таке що . Покладемо (y)=s і (x)=1(x) для всіх xV1. Оскільки B(z,k)B(y,k+1), то для всіх k{0,1,…,r-1}.

Приклад 1. Розглянемо граф Grn(Vn,En), n 2, де Vn={x1, x2, …, xn}, En={(x1, x2), (x1, x3),…, (x1, xn)}. Існує лише два 2-розфарбування 1 , 2 множини Vn, що мають індекс 1, а саме

1(x1)=1, 1(x2)=1(x3)=…=1(xn)=2;

2(x1)=2, 2(x2)=2(x3)=…=2(xn)=1.

Якщо n>3, то ці розфарбування неврівноважені. Отже, для n>3 і r=2 не існує врівноважених розфарбувань індексу r-1 множини n.