Розкладність графів. Комбінаторні розміри підмножин графів і груп

За теоремою кульова структура B(Gr) довільного нескінченного звязного локального скінченного графа Gr -розкладна відносно сім'ї всіх великих підмножин графа. Поширимо це твердження на довільні графи нескінченного діаметра.

Теорема 3. Множину V вершин довільного звязного графа Gr(V,E) нескінченного діаметра можна розбити на зліченне число підмножин V= i Ai так, що жодне з підмножин V\Ai не є великою. Зокрема, існує розбиття V=V1V2, таке що підмножини V1, V2 не є великими.

Доведення. Зафіксуємо довільний елемент x0V. Припустимо, що елементи x0, x1, …, xn вже вибрано так, що B(xi,i)B(xj,j)=, 0 in і n .

Задача 1. Нехай Gr(V,E) скінченний орієнтовний граф. Для кожної вершини vV позначимо через St(v) множину усіх вершин xV, для яких існує орієнтовний шлях від v до x. Визначимо передпорядок на V за таким правилом: v1 v2 тоді і тільки тоді, коли St(v1) St(v2). Довести, що вершина v максимальна відносно тоді і тільки тоді, коли {v} кусково велика підмножина кульової структури (Gr).

Перейдемо до кульових структур груп.

Теорема 4. Для довільного скінченного розбиття G=A1A2An групи G знайдуться такі підмножини розбиття Ai і скінченна підмножина F, що G=F Ai Ai-1.

Доведення. Застосуємо теорему до кульової структури Bl(G) і виберемо кусково велику підмножину Ai розбиття. Тоді знайдеться така скінченна підмножина F, що підмножина

{xG: Bl(x,K) Bl(Ai ,F)}

непорожня для довільної скінченної підмножини K групи G, що містить одиницю e. Позначимо через Fine сім'ю всіх скінченних підмножин з одиницею. Для кожної підмножини KFine виберемо елемент x(K)G, такий що K x(K) F Ai. Оскільки eK, то x(K)=f(K) a(K) для деяких елементів f(K)F, a(K)Ai. Виберемо конфінальну в Fine підмножину Fin' таку, що f(K)=f для всіх KFin'. Тоді для кожного gG знайдеться a(g)Ai, такий що gfa(g)FAi. Значить,G F Ai Ai-1f=F Ai Ai-1 .

Використовуючи техніку ультрафільтрів, можна довести [29], що G=FAiAi-1=FAi-1Ai для деяких підмножини Ai розбиття і скінченної підмножини F. Цікаво було б довести це твердження елементарними методами.

Теорему 4. можна посилити в іншому напрямку [7]: якщо групу G розбито на n підмножин G=A1A2An, то знайдуться такі підмножинa Ai розбиття, натуральне число k і підмножина K G, що G = FAiAi-1 , |K| k і (AiAi-1) підгрупа групи G.

Задача 2. Нехай аменабільну групу G розбито на n підмножин G=A1A2An. Довести, що знайдуться підмножина Ai розбиття і скінченна підмножина K, такі що

G=KAiAi-1 , |K| n.

Проблема 1. Довільну групу G розбито на n підмножин G=A1A2An. Чи вірно, що G=KAiAi-1 для деякої підмножини Ai розбиття і деякої скінченної підмножини K, |K| n?

За теоремою кожну нескінченну групу G можна розбити на зліченне число підмножин, кожна з яких велика в кульових структурах Bl(G), Br(G).

Можна довести [7], що кожну нескінченну групу можна розбити на зліченне число підмножин, кожна з яких мала в кульових структурах Bl(G), Br(G).

За теоремою 8.5. кожну зліченну групу G можна розбити на зліченне число підмножин G=n An так, що кожна підмножина G\An не являється великою в кульовій структурі Bl(G). Це твердження узагальнюється так [28].

Нехай G нескінченна група потужності =cf. Тоді існує розбиття G=< X групи X, таке що GF(G\X) для кожного і кожної підмножини F потужності <. Зокрема, кожну групу G регулярної потужності можна розбити на дві підмножини G=A1A2 так, що GFA1, GFA2 для кожної підмножини F потужності <. Невідомо [4], чи вірне це твердження для груп сингулярної потужності.