Розкладність графів. Квазіцикли і квазіпромені

Послідовність x1,x2,…,xk різних вершин зв'язного графа Gr(V,E) називається квазіциклом, якщо

d(x1,x2) 3, d(x2,x3) 3,…, d(xk-1,xk) 3, d(xk,x1) 3.

В кожному скінченному зв'язному графі існує квазіцикл, що проходить через кожну його вершину. Це твердження випливає з такої теореми про квазіцикл.

Теорема 1. Нехай Gr(V,E) - скінченний зв'язний граф, |V|=n, n 2. Для довільних суміжних вершин x,y V існує квазіцикл x1,x2,…,xn , такий що x=x1, y=xn .

Доведення. Оскільки в графі Gr(V,E) є кістяк, в якому вершини x,y теж суміжні, можна вважати, що Gr(V,E) - дерево. Застосуємо індукцію по n. Для n=2 твердження очевидне. Приймемо припущення індукції і розглянемо два випадки.

Випадок 1. |B(x,1)|=2, тобто x - кінцева вершина дерева і B(x,1)={x,y}. Видалимо вершину x і ребро (x,y). Одержимо дерево Gr'(V',E') з множиною вершин V'=V\{x} і множиною ребер E'=E\{x,y}. Виберемо вершину z, суміжну з вершиною y в дереві Gr'(V',E') . За припущенням індукції існує квазіцикл x2,x3,…,xn в дереві Gr', такий що x2=z, xn=y. Тоді x1,x2, x3,…,xn - квазіцикл в дереві Gr.

Випадок 2. |B(x,1)|>2. Якщо |B(y,1)|=1, то заміною пари x,y парою y,x ми опиняємося у першому випадку. Отже, можна вважати, що |B(x,1)|>1, |B(y,1)|>1. Видалимо ребро (x,y) і одержимо два дерева Gr1(V1,E1), Gr2(V2,E2) з коренями x і y. Нехай |V1|=k, |V2|=m. Оскільки k 2, m 2, то за припущенням індукції існують квазіцикли x1,x2,…,xk і y1,y2,…,xm в деревах Gr1 і Gr2, такі що x1=x, ym=y і (x1,xk)E1, (y1,ym)E2 . Оскільки відстань між xk та y1 в дереві Gr дорівнює 2, то x1,x2,…,xk , y1,y2,…,xm - потрібний нам квазіцикл в дереві Gr.

Задача 1. Навести приклад скінченного дерева Gr(V,E), для якого не існує упорядкування x1,x2,…,xn множини вершин V, такого що d(x1,x2) 2, d(x2,x3) 2,…, d(xn-1,xn) 2. Графи, що допускають подібні упорядкування вивчаються в наступному параграфі.

Застосуємо теорему 1 для побудови деяких розбиттів графів.

Теорема 2. Нехай r,n - натуральні числа, r - дільник числа n. Для кожного зв'язного графа Gr(V,E), |V|=n існує врівноважене розбиття V=V0 V1 …Vr-1 таке що

dist(V0,V1) 3, dist(V1,V2) 3,…, dist(Vr-2,Vr-1 ) 3, dist(Vr-1, V0 ) 3.

Доведення. Для n=1 твердження очевидне. Для n 2 візьмемо довільні суміжні вершини x,y. За теоремою 4.1 існує бієкція f: V {0,1,…,n-1}, така що f(0)=x, f(n-1)=y і d(f(i),f(i+1)) 3 для всіх i {0,1,…,n-2}. Для довільної вершини vV покладемо (v)=f(v) mod r. Покладемо V0 -1(0), V1= -1(1),…, Vr-1= -1(r-1).

Зауважимо, що індекс кожної підмножини розбиття з теореми 4.2 не перевищує 3r . Отже, порівняно з теоремою 1.2, теорема 4.2 програє в оцінці індексу розбиття, але виграє в оцінці відстаней між сусідніми підмножинами розбиття.

Послідовність n різних вершин нескінченного зв'язного графа називається квазіпроменем, якщо d(xn , xn+1) 3 для всіх n . Граф Gr(V,E) назвемо квазіпроменевим, скорочено qr-графом, якщо існує квазіпромінь, що проходить через усі вершини цього графа. Якщо в скінченному зв'язному графі, за теоремою 1, існує квазіцикл, що проходить через усі вершини, далеко не кожен нескінченний зв'язний граф має квазіпромінь, що проходить через усі його вершини. Характеризація локальноскінченних qr-дерев викладена в наступному параграфі. Незважаючи на це, поняття квазіпроменя виявляється досить корисним для побудови розбиттів довільних нескінченних зв'язних графів. Центральними результатами цього параграфу є наступні дві теореми.

Теорема 3. Нехай Gr(V,E) - зліченний зв'язний граф. Тоді існує розбиття A множини вершин V на скінченне або зліченне число підмножин, таке що для кожної підмножини AA

(і) граф Gr[A] зв'язний;

(іі) граф Gr[A] є qr-графом.