Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом Крамера

Поглибити знання студентів про методи розв’язування систем лінійних рівнянь та дати практику розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом Крамера.

Пригадайте теорію:

Правило Крамера (швейцарський математик, 31.07.1704 - 04.01.1752):

якщо основний визначник неоднорідної системи n лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими не дорівнює нулю, то ця система має єдиний розв’язок, який знаходиться за формулами

де – допоміжний визначник, який одержується з основного визначника – шляхом заміни його k-го стовпця стовпцем вільних членів системи.

Отже:

Якщо , то система матиме єдиний розв’язок (1).

Якщо , то система або невизначена, або несумісна(система буде несумісною – не матиме жодного розв’язку, якщо хоча б один з ) .

Якщо ж і , то система матиме безліч розв’язків.

Перед розв’язком даних систем лінійних рівнянь потрібно перевірити необхідні умови застосування методу Крамера:

1. Кількість рівнянь системи дорівнює кількості невідомих.

2. Визначних основної матриці системи не дорівнює нулю

Зауваження. Метод Крамера доцільно використовувати, коли кількість рівнянь та невідомих . Метод Крамера можна застосовувати і для великих значень n, але він потребує більше розрахунків. У випадку, коли n > 3 доцільно використовувати метод Гауса-Жордана (приведення системи до трикутного вигляду).

Вправи для розв’язування.

1. Розв’язати систему двох лінійних рівнянь з двома невідомими методом Крамера:

Відповідь: (-3.6; -6.4).

Завдання 2. Розв’язати системи двох лінійних рівнянь з двома невідомими методом Крамера:

Завдання 3. Розв’язати системи двох однорідних лінійних рівнянь з двома невідомими методом Крамера:

Завдання 4. При якому значенні k система має безліч розв’язків?

.

Завдання 5. При якому значенні k система не має розв’язків?

.

6. Розв’язати системи трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими методом Крамера: