Дослідження на збіжність числових рядів з додатними членами (за допомогою ознак порівняння)

Приклад 1. Дослідити на збіжність ряд

Розв’язання.

Для порівняння використовуємо ряд - збіжну геометричну прогресію (бо ). Справедлива нерівність , отже ряд збігається.

Приклад 2. Дослідити на збіжність ряд , де – деяке дійсне число.

Розв’язання.

Так як для всіх і ряд збігається, то за ознакою порівняння даний ряд збігається для довільного .

Приклад 3. Дослідити на збіжність ряд .

Розв’язання.

Ряд збігається, так як для всіх і ряд розбігається (як гармонічний).

Приклад 4. дослідити на збіжність ряд .

Розв’язання.

Збіжність ряду випливає з того, що його члени менші за (відповідні) члени збіжного ряду

А це означає, що збігається і даний (вихідний) ряд, бо він відрізняється від ряду лише першим членом.

Приклад 5. Дослідити на збіжність ряд.

Розв’язання.

Додатний ряд є розбіжним, оскільки його загальний член “схожий” на загальний член гармонічного ряду. Застосуємо другу ознаку порівняння: , і одержимо підтвердження висновку про розбіжність заданого ряду.

Ознаки Д’Аламбера та Коші не дають відповідь на питання про збіжність цього ряду. Наприклад, .

Приклад 6. Дослідити на збіжність ряд.

Розв’язання.

Тут. Для порівняння використаємо ряд з загальним членом - збіжну геометричну прогресію. Звідси:

тому, що , то обидва ведуть себе однаково і, значить, даний ряд збіжний.

Приклад 7. Дослідити на збіжність ряд.

Розв’язання.

Скористаємось першою ознакою порівняння рядів. Оскільки для всіх, а гармонічний ряд розбігається, то й заданий ряд є розбіжним.

Приклад 8. Дослідити на розбіжність ряд.