Інтеграл Стилтьєса

А. Інтеграл Рімана-Стилтьєса. Інтеграл Рімана-Стилтьєса від функції f(x) з інтегрованою функцією g(x) по граничному інтервалу [a, b] по визначенню є

і . Якщо g(x) – функція граничної варіації, а f(x) – неперервна функція на [a, b], то границя існує.

Невласні інтеграли Лебега-Стилтьєса. Кожна функція g(x), не спадаюча і неперервна справа на граничному інтервалі [a, b], за допомогою нерівностей маємо:

де в квадратних дужках вказано множина значень х, визначає межу (межу Лебега-Стилтьєса) M[S] кожної борелевської множини на інтервалі [a, b]. Зауважимо, що

Відштовхуючись від межі Лебега-Стилтьєса граничних інтервалів по способу , а вводячи межу M[S] Лебега-Стилтьєса похідної вимірної множини, як загальне значення внутрішньої і зовнішньої межі.

Якщо задана функція y=f(x), обмежена і вимірна на інтервалі [a, b], то інтеграл Лебега-Стилтьєса від функції f(x) з інтегрованою функцією g(x) по [a,b] за визначенням є

для похідної розбивки інтеграла, що складає множину значень функцій f(x); Si і є множина значень х, в яких (про визначення межі )

Інтеграл Лебега-Стилтьєса від обмеженої або необмеженої функції f(x) по будь-якій вимірній множині можна визначити за способом b,c i d, допускаючи, що функція g(x) обмежена на кожній розглянутій обмеженій множині. В багатомірному випадку функція g(x) заміняється функцією, не спадаючою по кожному аргументу. Якщо примінивши рівність до суми двох монотонних функцій ..., визначити інтеграл Лебега-Стилтьєса з будь-якою інтегрованою функцією g(x) обмеженої варіації. Якщо інтеграл Рімана-Стилтьєса існує в змісті абсолютної збіжності, то відповідний інтеграл Лебега-Стилтьєса рівний йому.

С. Якості інтеграла Стилтьєса.

Якщо (a,b) – обмежений або необмежений інтервал, для якого існують розглянуті інтеграли, то

Якщо g(x) – неспадна функція на (a,b),

Якщо g(x) – неспадна функція і на (a,b),

Інтеграли Стилтьєса як правило мають “наглядний” зміст (криволінійні інтеграли, інтеграли по поверхні, по об’єму, інтеграли по розподілу маси, заряду і ймовірності). Зауважимо, що інтеграл Стилтьєса в якості особливих випадків включає в себе інтеграли і суми:

якщо функція g(x) неперевно диференційована на проміжку (a,b),

Cвертки. Свертка Стилтьєса двох функцій f(х) та g(х) по проміжку (a,b) є по визначенню функцією

для всіх значень t, для яких ці два інтеграла існують і рівні. Класична свертка функцій f(х) та g(х) по проміжку (a,b) таким чином визначається як

В літературі часто просто називають сверткою функцій f(х) та g(х) по проміжку (a,b) або будь-яку з цих функцій позначають символом або f*g, справжній зміст як правило видно з контексту.

Якщо мають місце рівності, то

Якщо або якщо , якщо інтеграли існують, то рівності справедливі.