Неперервні функції

1. Неперервність функції в точці і на відрізку

Нехай у = (х) і аргумент х змінюється від значення х = х1, до значення х = х2. Різницю між цими значеннями аргументу нази¬вають прирістом аргументу і позначають х .

Отже, х = х2- х1.

При х = х1 маємо у, = (х1), а при х = х2 маємо у2 = (х2). Різни¬цю функції, яка викликана зміною аргументу, називають прирі¬стом функції і позначають у.

Отже, у = у2 – у1= (х, + х) - (x1) .

Тепер можна перейти до поняття неперервності функції. Да¬мо два означення неперервності функції в точці, які досить час¬то використовуються.

Означення 1. Якщо нескінченно малому прирісту аргументу х в точці х = х0 відповідає нескінченно малий приріст у функції, що визначена в точці х0 та в її околі, то функцію у = (х) нази¬вають неперервною при х = х0 або в точці х0.

Із цього означення випливає, що для дослідження неперервності функції в точці х = х0 достатньо впевнитись, що при х 0 буде у 0.

Означення 2. Функцію у = (х) називають неперервною при х = х0, якщо:

1) (х) існує при х = х0 та в деякому околі точки х0;

2) існує скінченна границя ;

3) незалежно від способу прямування х до х0,

тобто

Останню умову можна записати так: .

Ця ознака нижче буде використана для класифікації точок розриву.

Означення 3. Якщо функція неперервна в кожній точці деяко¬го інтервалу (а, b), то її називають неперервною в інтервалу (а, b). Якщо функція визначена при х = а i то кажуть, що (х) неперервна в точці а справа.

Якщо (а) визначена при x = b i то кажуть, що (х) в точці х = b неперервна зліва.

Якщо (х) неперервна в кожній точці інтервалу (а, b) та непе¬рервна на кінцях інтервалу, відповідно зліва та справа, то функ¬цію (х) називають неперервною на відрізку [а,b].

2. Класифікація розривів функції

Якщо при деякому х = x1 будь-яка із умов неперервності означення 2 не виконується, то кажуть, що функція в цій точці має розрив, а точку x1 називають точкою розриву функції (дивись Мал. 1.).

Поняття неперервності та розриву функції можна наочно по¬казати на графіку функції.

В околі точки х0 графік має вигляд неперервної лі¬нії. При будь-якому пряму¬ванні х х0 (х) (х0). В точках х, та х, інша ситу¬ація. При наближенні х до х1 зліва (х) а, а при х х, справа (х) b, тоб¬то залежить від способу прямування х до х1. В точці х2 умова непе¬рервності функції також не виконується тому, що , тобто не існує скінченної границі.