Розкладання елементарних функцій в ряд Маклорена

Рядом Маклорена функції f(x) називають степеневий ряд по степенях х, який можна дістати з ряду (38) при х0 = 0:

З п. 2.4 випливає таке правило розкладання функції в ряд: щоб функцію f(x) розкласти в ряд Маклорена потрібно:

а) знайти похідні f´(х), f˝(х), ...., fп(х), ...;

б) обчислити значення похідних в точці х = 0;

в) записати ряд Маклорена (41) для даної функції і знайти інтервал його збіжності;

г) визначити інтервал (–R; R), в якому залишковий член формули Маклорена Rп (х) → 0 при п → ∞.

Якщо такий інтервал існує (він може відрізнятись від інтервалу збіжності ряду (41)), то в цьому інтервалі функція f (х) і сума ряду Маклорена збігаються:

Розглянемо ряди Маклорена деяких елементарних функцій (вони часто використовуються і тому їх варто запам’ятати):

1.Нехай f (x)=ex. Маємо:

а) б) в)

отже знайдений ряд зберігається в інтервалі (– ∞;+ ∞);

г)

тому за теоремою 3 (п.2.4.) функцією ех можна розкласти в степеневий ряд на довільному інтервалі (— R; R) (—∞; + ∞), а отже, і на всьому інтервалі (—∞; + ∞). Формулу (42) доведено.

2.Нехай f (x) = sin x. Дістанемо

а) f’(x) = cos x = sin (x + );

fn(x) = sin x = sin (x + 2 );

f’’’(x) = cos x = sin (x + 3 );

fn(x) = sin (x + 2 ), n N;

б) fn(0) = sin n

в) (-1)n;

R= lim

г) x тобто формулу (43) доведено.

3.Нехай f(х) = cos x. Формулу (44) можна довести так само, як і формулу (43). Проте це можна зробити значно простіше, про диференціювавши почленно ряд (43).

4.Нехай f(х) = (1+x)m, m R.Маємо: