Елементарна теорія похибок

Означення. Нехай A точне значення деякого числа, тоді як a наближене. Тоді різниця a = |A-a| називається абсолютною похибкою числа A .

Означення. Частка називається відносною похибкою числа A.

Приклад. Нехай A=10; a=9,5; B=50; b=50,5.

Тоді a = |10-9,5| = 0,5; 0,5/10 =0,05 = 5%.

b = |50-50,5| = 0,5; 0,5/50 = 0,01 = 1%.

Зазначимо, що на практиці більшість статистичних даних є відомими лише з деякою похибкою.

Означення. Кажуть, що число a має n вірних знаків (розрядів, цифр), якщо його абсолютна похибка не перевищує половини n-го розряду.

Приклад. Числа 10±0,5 та 50±0,5 мають два вірні знаки. Число 123,2±0,05 має чотири вірні знаки.

У математиці (а також в її застосуваннях) прийнято записувати для кожного числа всі його вірні знаки і лише ці вірні знаки. Наприклад, за записом x1=112,40 визначаємо, що це число має п’ять вірних знаків ( 0,005 ), тоді як за записом числа x2=112,4 визначаємо той факт, що це число має чотири вірні знаки (0,05). У числі y1=1200 вірними є чотири знаки (0,5), а в числі y2=0,120104 маємо тільки три (5).

Теорема 1. У разі додавання (віднімання) наближених чисел їхні абсолютні похибки додають:

a+b a + b .

Теорема 2. У разі множення (ділення) наближених чисел їхні відносні похибки додають:

aba + b .

Для додавання багатьох близьких чисел (a1~a2~…~an~a) використовують формулу

Приклад. Нехай a=12±0,3 ; b=10±0,2.

Виконавши додавання, одержимо a+b=22±0,5,

звідки a+b = 0,5.

У результаті множення отримуємо ab=(12±0,3)(10±0,2)120±5,4 ,

звідки .

Абслютну похибку y функції від багатьох змінних y = y(x1,…,xn), як зазначено в темі 6, обчислюють за формулою

.

Типовою помилкою економіста є наведення у відповіді великої кількості знаків після коми (оскільки комп’ютер виконує обчислення з багатьма розрядами). Проте точність результату не може бути вищою, ніж точність вхідних даних!

Зазначимо, що у разі віднімання відносна похибка може значно зростати.

Приклад. Нехай a=121±0,5