Знаходження екстремуму функції від багатьох змінних

Означення. Точка називається точкою максимуму (мінімуму) функції , якщо існує окіл точки такий, що для всіх точок цього околу виконується нерівність (відповідно ).

За аналогією із функцією від однієї змінної, для функції від двох змінних маємо такі необхідні умови екстремуму:

Як і раніше, ці умови не обов’язково є достатніми.

Отже, відшукання екстремумів функції від багатьох змінних полягає в тому, що потрібно побудувати систему рівнянь

розв’язати її, знайшовши критичні (стаціонарні) точки, які надалі треба перевірити на наявність максимуму чи мінімуму.

Означення.

Вектор

називається градієнтом функції .

Очевидно, що градієнт задає напрям найшвидшого зростання функції.

Очевидно також, що необхідну умову екстремуму можна записати так.

Розглянемо достатні умови екстремуму для випадку функції від багатьох змінних.

Теорема (без доведення).

Нехай функція визначена в деякому околі точки і fx(x0,y0)= fy(x0,y0)=0. Нехай A= fxx(x0,y0), B fxy(x0,y0) та C = fyy(x0,y0) неперервні. Тоді при AC-B2 > 0 у точці (x0,y0) функція має екстремум (при A<0 – максимум, при A>0 – мінімум ).

При AC-B2<0 екстремуму немає (перегин, сідлова точка, тощо).

Зазначимо, що невиконання достатніх умов не означає того, що екстремуму немає.

Приклад. Знайти екстремум функції z = x3+y3-3xy.

Маємо

Розв’язуємо систему,

звідки знаходимо дві критичні (стаціонарні) точки: M0=(0,0) та M1(1,1).

Обчислюємо другі частинні похідні:

У точці M0=(0,0) маємо: A=0, B= -3, C=0, отже, AC-B2 = -9<0, тобто екстремуму немає.

У точці M1(1,1) маємо: A=6, B= -3, C=6, отже, AC-B2=27>0,

A=6>0.

Функція z = z(x,y) має мінімум у точці (1,1) .