Поняття функції від багатьох змінних. Лінії рівня

На практиці досить часто функція y залежить не від однієї змінної x, а від багатьох аргументів x1,…,xn.

Означення. Множина значень {x1,…,xn}, за яких вираз f(x1,…,xn) має зміст, називається областю визначення функції від n змінних y = f(x1,…,xn).

Приклади.

1. Функція від двох змінних z=3x+5xy+y2. Область визначення цієї функції - всі пари дійсних чисел (x;y).

2. Функція від чотирьох змінних y=2x1+3x2-x3+7x4.

3. Функція від трьох змінних V=V(a,b,c)=abc. Об’єм паралелепіпеда є функцією від довжин його сторін.

4. Функція від двох змінних Q=F(K,L). Обсяг випущеної продукції Q є функцією від кількості затраченого капіталу K та кількості затраченої праці L. Областю визначення цієї функції є множина {K0; L0}.

5. Область визначення функції визначається з нерівності 100-x2-y20, тобто x2+y2102. Це круг з центром у початку координат і радіусом r = 10.

Функція від двох змінних (аргументів) f(x,y) представляє собою деяку поверхню в трьохвимірному просторі. Зокрема, графіком функції є верхня половина сфери (рис. 6.1).

Функції від двох змінних геометрично зображають також за допомогою ліній рівня (ліній однакового рівня, ізоліній).

Означення. Лінією рівня функції від двох змінних z=f(x,y) називається множина точок площин OXY таких, що f(x,y)=const=C.

Прикладом ізоліній є паралелі та меридіани.

Приклади.

1. Побудуємо лінії однакового рівня функції . При C=0 маємо тобто x2+y2=102 (коло з радіусом r=10, рис.6.2).

При C=6 отримуємо тобто x2+y2=82 . Отже лінією рівня, яка відповідає константі C=6, є коло з радіусом r = 8.

При C=8 отримуємо ізолінію (неявну функцію y від x) x2+y2=62.

2. Для випуску продукції Q використовують ресурси x1 та x2. Виробнича функція має вигляд Q=10x1+20x2 (ресурси повністю взаємозамінні, наприклад, цвяхи та шурупи).

Зобразити ізолінії для Q=Q(x1,x2) (лінії однакової кількості (quantity) продукції, ізокванти ).

Очевидно, що при C=60 ізолінія (ізокванта) – це відрізок прямої 10x1+20x2=60, а при C=40 – відрізок прямої 10x1+20x2=40 (рис. 6.3).

3. Виробнича функція має вигляд Q=min{10x1,20x2} (ресурси повністю взаємодоповнюючі, наприклад, калійні та азотні добрива).

Тоді в точках (x1=2, x2=1), (x1=4, x2=1), (x1=2, x2=3) значення Q=40. У точках (x1=4; x2=2) та (x1=4; x2=4) випуск набуває значення Q=80. На рис. 6.4 зображені лінії однакового рівня (ізокванти) для кількості продукції Q.

Зазначимо, що в другому та третьому прикладах зобразити функцію Q=Q(x1,x2) геометрично в тривимірному просторі дуже складно.

4. Випуск продукції Q, як функцію від вкладеного капіталу K та кількості затраченої праці L, задається формулою Q=K0.6L0.4 (часткова взаємозамінність і часткова взаємодоповнюваність ресурсів).