Диференціальні рівняння першого порядку, не розв’язані відносно похідної

Реферат на тему:

Диференціальні рівняння першого порядку, не розв’язані відносно похідної

Диференціальне рівняння першого порядку, не розв’язане відносно похідної, має такий вигляд

Частинні випадки рівнянь, що інтегруються в квадратурах

Розглянемо ряд диференціальних рівнянь, що інтегруються в квадратурах.

1) Рівняння вигляду . Нехай алгебраїчне рівняння має по крайній мірі один дійсний корінь . Тоді, інтегруючи , одержимо . Звідси і вираз містить всі розв’язки вихідного диференціального рівняння.

2) Рівняння вигляду . Нехай це рівняння можна записати у параметричному вигляді

Використовуючи співвідношення , одержимо . Проінтегрувавши, запишемо

.

І загальний розв’язок в параметричній формі має вигляд

3) Рівняння вигляду . Нехай це рівняння можна записати у параметричному вигляді

Використовуючи співвідношення , отримаємо і . Проінтегрувавши, запишемо

.

І загальний розв’язок в параметричній формі має вигляд

4) Рівняння Лагранжа

.

Введемо параметр і отримаємо

Продиференціювавши, запишемо

Замінивши одержимо

Звідси

І отримали лінійне неоднорідне диференціальне рівняння

Його розв’язок

І остаточний розв’язок рівняння Лагранжа в параметричній формі запишеться у вигляді

5) Рівняння Клеро.

Частинним випадком рівняння Лагранжа, що відповідає є рівняння Клеро