АРХІМЕД (287—212 p. до н. е.)

96-кутника буде більшою від 3 а величина периметра правильного описаного 96-кутника буде меншою за 3 . Архімед узяв верхню границю за наближене значення довжини кола (коли D = 1), тобто знайшов, що π = 3,14 з точністю до 0,01. Це значення числа π, тобто називають Архімедовим.

У цій праці Архімед застосував знайдений ще Евдоксом метод, який дістав назву методу вичерпування.

Площу крута Архімед знаходить за таким самим методом: він вписує в круг і описує навколо нього правильні многокутники, поступово подвоюючи число їх сторін. Площа вписаного многокутника із збільшенням числа його сторін збільшується, наближаючись до площі круга, яка нібито поступово «вичерпується» (звідки й назва «метод вичерпування»). Площа описаного многокутника, навпаки, зменшується. В обох випадках площі многокутників будуть наближатись до площі круга. Доведення за допомогою методу вичерпування базується на тому, що різниця площ многокутників може стати меншою від як завгодно малої наперед заданої величини.

Визначення площі круга Архімед починає з доведення теореми, відомої ще до Евкліда: площа круга дорівнює площі прямокутного трикутника, в якого більший катет дорівнює довжині кола, а менший — радіусу круга. Це доведення, яке проводиться методом від супротивного, зводиться до доведення тверджень, що площа круга не може бути ні більшою, ні меншою за площу такого трикутника. Архімед успішно застосовує метод вичерпування і для знаходження площі параболічного сегмента, тобто площі, обмеженої дугою параболи і хордою.

Ці дослідження Архімеда були першим кроком на шляху до аналізу нескінченно малих величин.

У праці «Про циліндр і кулю» Архімед також застосовує метод вичерпування для визначення поверхонь і об'ємів круглих тіл — циліндра, конуса і кулі.

Про свої відкриття Архімед писав математикові Досіфею: «Я довів, що поверхня всякої кулі в чотири рази більша від площі її великого круга, що об'єм циліндра, основа якого дорівнює площі великого круга кулі, а висота — діаметру кулі, в півтора раза більший від об'єму цієї кулі, а його поверхня (включаючи і площі основ) у півтора раза більша від поверхні кулі; піраміда дорівнює третині призми, якщо вони мають рівні основи і висоти, а конус — третині циліндра (про конус знав і Евдокс). Зрозуміло, що ці властивості тіла мали завжди, але видатні геометри, які жили до Евдокса, не знали цих властивостей і ніхто з них не відкрив їх». Ці відкриття Архімед вважав дуже важливими і висловлював бажання, щоб на його могилі встановили пам'ятник, на якому був би зображений циліндр з вписаною в нього кулею.

У 1906 р. датський філолог і математик Гейберг, вивчаючи старогрецькі рукописи у бібліотеках Стамбула (Туреччина), натрапив на збиток, у якому були три не відомі до того твори Архімеда: дві праці «Про плаваючі тіла» і одна праця, в якій Архімед висловлює думки про механічні методи досліджень, так званий «Ефодік». У творі «Ефодік» вміщено лист Архімеда до відомого математика Ератосфена. В ньому Архімед пише: «Оскільки, звичайно, я в твоїй особі... ціную дуже серйозного вченого і видатного філософа, то я вважаю за доцільне висвітлити в цій книзі своєрідний метод і так пояснити його, щоб ця праця послужила і для тебе стимулом у дослідженнях деяких математичних питань за допомогою механіки». Справді, Архімед спочатку застосовував метод зважування на рівноплечому важелі, а потім проводив геометричне доведення методом вичерпування.

Особливо важливий твір Архімеда «Про плаваючі тіла». У ньому викладено закони гідростатики, які не втратили свого значення й до наших днів. Існує цікава легенда про історію відкриття «закону Архімеда». Сіракузький цар Гієрон наказав майстрові виготовити корону з чистого золота. Коли корона була готова, цар доручив Архімедові перевірити, чи справді це чисте золото. Архімед довго міркував над тим, як це зробити, але нічого не міг придумати, адже корона мала неправильну форму і тому не можна було обчислити її об'єм. Одного разу, купаючись у ванні, Архімед звернув увагу на те, що його тіло у воді стає легшим. Раптом йому спало на думку, як можна розв'язати поставлену проблему. Він так розхвилювався, що вискочив з ванни і побіг вулицею, вигукуючи: «Еврика, еврика!» («Знайшов, знайшов!»). І справді, зваживши у воді спочатку кусок чистого золота, кусок срібла, потім — корону, Архімед установив, що корона була не з чистого золота.У книжці «Про рівновагу і визначення центра ваги плоских фігур» Архімед уперше доводить відоме правило важеля: нерівні тягарі перебувають у рівновазі на важелі, якщо відстані центрів тягарів від точки опори важеля обернено пропорційні їх вагам. У цій самій праці Архімед визначає центри ваги прямокутників, паралелограмів, трикутників і т. д. Є всі підстави припускати, що тут він установив саме поняття центра ваги тіла: це така точка, в якій досить підтримати тіло, щоб воно було в рівновазі у будь-якому положенні.

Цікаві властивості встановив Архімед, досліджуючи спіральні лінії, які були відкриті його другом Кононом. Криві цього виду мають назву архімедових спіралей, бо саме Архімед відкрив і довів найголовніші властивості їх. Архімед довів зокрема, що площа першого витка спіралі становить третю частину площі описаного навколо нього круга (дивись малюнок), площа другого витка дорівнює площі описаного круга і т. д.