Інтегрування раціональних дробів та виразів, що містять ірраціональності.

1. Корені знаменника дійсні та різні, тобто

В цьому випадку дріб розкладається на суму найпростіших дробів 1-го типу:

(1)

Невизначені коефіцієнти А1, А2, ... Аm знаходять з тотожності (1).

2. Корені знаменника дійсні, причому деякі з них кратні, тобто

Тоді дріб розкладається на суму найпростіших дробів І-го та ІІ-го типу

(2)

Коефіцієнти А, В1, В2, ..., Вk знаходять з тотожності (2).

3. Корені знаменника дійсні, причому деякі з них кратні, крім того знаменник містить квадратний тричлен, який не роз­кладається на множники, тобто

В цьому випадку дріб розкладається на суму найпростіших дробів 1-го, ІІ-го та ІІІ-го типів

(3)

коефіцієнти А, В1, В2, ..., Bk, D та Е знаходять з тотожності (3).

Приклад 1. Знайти

Розв'язування. Підінтегральна функція—це правильний раціональний дріб, знаменник якого містить квадратний двоч­лен, який не розкладається на множники та один дійсний ко­рень х = 1, тому цей дріб розкладається на суму найпростіших дробів І та III типу:

(4)

Невідомі коефіцієнти А, В та С будемо шукати методом невизначених коефіцієнтів. Для цього праву частину рівності (4) треба привести до спільного знаменника, одержимо

Знаменники в обох частинах рівні, тому і чисельники повинні бути рівні, тобто

х = (Ах + В)(х - 1) + С(х2 + 1) (А + С)х2 + (В - А) + С - В (5)

Рівність (5) можлива лише тоді, коли коефіцієнти при одна­ковому степеню х в обох частинах рівності однакові, тобто

Отже, розклад (4) тепер приймає вигляд

Інтегруючи цю рівність, одержимо

2. Інтегрування виразів, що містять ірраціональності

При інтегруванні виразів, що містять дробові степені змінної інтегрування (тобто ірраціональності), методом відстановки зводять підінтегральну функцію до раціонального дробу. Розг­лянемо декілька випадків.