Автоматизована обробка інформації складних систем проекційними методами

Реферат на тему:

Автоматизована обробка інформації складних систем проекційними методами

Найбільше розробленим методом розв’язання проблем у рамках автоматизації обробки інформації в складних інформаційних системах є ве-ликі розріджені системи лінійних алгебраічних рівнянь (ВР СЛАР). Та в практиці розробки автоматизованих систем обробки інформації, які підляга-ють аналізу, існує галявина, що впливає на розробку та створення алгоритмів і програмного забезпечення за-для розв’язання крайових і динамічних бага-томірних польових задач, що мають місце при рішенні складних науково-інженерних проблем, розпізнавання образів, вилучення знань тощо. З цією ціллю необхідно розглянути питання як теоретичного обгрунтування методів дискретизації, так і їхньої практичної реалізації з урахуванням: порядку апроксимації рішення і збіжності обчислювальних алгоритмів. Серед множини існуючих методів розв’язання зазначеного класу задач особливе місце займають проекційні методи. Завдяки своїй достатній універсальності, а також – низці гідностей, проекційні методи завойовують все більшу популярність [1]. Найбільш відомі з них – це методи Рітца і Гальоркіна [2]. Застосування їх [3] дозволяє зберегти в наближеній задачі важливі властивості вихідної крайової задачі, зокрема, симетрії, позитивної певності, властивостей теплицевих матриць та ін. Для проекційних методів розв’язання добре розроблена теорія дослідження похибок наближених рішень.

Як відомо [1], вимога завдання в просторі скалярного добутку, норми і властивостей аддитивності й однорідності призводить до визначення гільбертова простору. Розглянемо в абстрактному гільбертовом просторі Н із визначеним скалярним добуткомом (*,*) операторне рівняння

A * x = b, (1)

де А – лінійний оператор;

b – заданий елемент простору H;

x – невідомий елемент.

Нехай DAÌH – область визначення оператора A, а HNÌDA – підпростір простору Н з обмеженою розмірністю. Наближеним рішенням рівняння (1) назвемо такий елемент xÎHN, для якого невязка (Ax – b) ортогональна будь-якому елементу yÎHN, тобто

(Ax – b, y) = 0 , yÎHN . (2)

Це співвідношення, так само як і співвідношення (1), дозволяє одержати систему алгебраїчних рівнянь для визначення наближеного рішення. Дійсно, нехай j1, j2, ... , jN, – базис у просторі НN. Наближене рішення будем шукати у виді

,

де ck (k=1, 2, ... , N) – невідоме число.

Підставляючи це уявлення x у (2) і вважаючи y послідовно рівним j1, j2, ... , jN, одержимо систему для визначення ck, тобто:

i=1, 2, ... , N. (3)

Описаний процес пошуку наближеного рішення рівняння (3) називається методом Гальоркіна. Функції j1, j2, ... , jN називаються координатними функціями проекційного методу [1].

У проекційних методах стало традиційним в якості координатних функцій використовувати алгебраїчні і тригонометричні поліноми. Проте в багатьох задачах виявилося, що системи лінійних алгебраїчних рівнянь, що утворюються, є такі, що їхнє розв”язання на ЕОМ стає практично неможливим через те, що похибки округлення в ході обчислень «забивають» правильне рішення. Ця обставина виявилась головною перешкодою в застосуванні проекційних методів для автоматизації складних задач.