Оцінки за методом найменших квадратів

Далі, з першого рівняння системи одержимо, що

Отже, .

З обмеженності норм випливає, що можна виділити слабко збіжну підпослідовність у просторі , для якої ми залишимо ті ж позначення, тобто , але тоді отримаємо, що і збігаються сильно до і відповідно.

Покажемо, що і є розв'язками системи рівнянь (5.1) при , але це випливає із співвідношень

оскільки слабко збігається до , а сильно збігається до у просторі .

Нарешті зауважимо, що

що і треба було довести.

Наведемо далі необхідні умови для відшукання оптимального коефіцієнта .

Теорема 2. Нехай . Тоді , , де знаходяться з розв'язку системи рівнянь

де

Доведення. Можна показати, що функціонал диференційовний у сенсі Гато і оскільки , то

де визначається з розв'язку системи рівнянь

(2)

Перетворимо далі вираз . З першого рівняння системи (2) при отримаєм

З другого рівняння системи ( 5.2) при

Покладемо у другому рівнянні системи (5.2) , і тоді

Знову поклавши у першому рівнянні системи (2) при , одержимо, що

Враховуючи всі ці вирази, будемо мати, що

звідки

р

Наслідок. Нехай майже скрізь виконується нерівність , де - вимірні майже скрізь обмежені функції. Тоді необхідні умови для можна переписати у вигляді

м. с. на

Зауважимо, що якщо ввести множини

і покласти, що міра Лебега дорівнює нулеві, то