Побудова кривих регресій методом парабол

Теоритичні відомості

Лінійна залежність є найпростішою і в більшості випадків є початковим, першим наближенням до істини. Часто потрібно встановити більш адекватну залежність між компонентами наприклад двомірного випадкового вектора, яка як правило не лінійна.

Так як у вибіркових данних присутні випадковості, то початковий вигляд нелінійної залежності можна приблизно уявити побудувавши на міліметровому папері сукупність точок

Ми будемо шукати залежність у вигляді y = a0 + a1x + … + akxk , де а0, …, аk – початкові моменти.

Ця передумова обумовлюється теоремою Вейерштраса про наближення будь-якої функції многочленом відповідного степеня (многочленом Берштейна).

Складність полягає в тому, що як правило в статистиці многочлени степеня k > 4 не використовуються, а початкові моменти вище четвертого дають великі похибки, а експериментальних данних багато, отже не можна провести многочлен який би проходив через всі вибіркові точки. Тому параболу будемо будувати таку, щоб сума квадратів відхилень вибіркових значень була найменшою.

Розглянувши пари (xi,yi) скористаємося формулами:

Розв'язавши дану систему, отримаємо рівняння шуканої параболи.

Найбільшу величину похибки при апроксимації початкових данних шукатимемо за наступною формулою:

Приклад дії програми

Початкові данні:

xo1234

y11.51.72.15.9

При виборі степеня k=1 результат отримано наступний:

а0 = 0.36

а1 = 1.04

d = 4.776

Графік:

При k=2:

a0 = 1.3314; a1 = -0.9029; a2 = 0.4857; d= 1.4731

При k=3:

a0 = 0.9614; a1 = 1.7488; a2 =-1.3643; a3 =-0.3083; d= 0.1041

При k=4: