Неперервність функції в точці і в області.Дії над неперервними функціями. Формулювання основних властивостей функцій, неперервних в замкнутій області. Точки розриву функції та їх класифікація. Павутинні моделі ринку
Означення. Функція називається неперервною в точці зліва (справа), якщо виконуються умови:
1) визначена в точці (існує число );
2) в точці існує лівостороння (правостороння) границя функції;
3) лівостороння (правостороння) границя функції дорівнює значенню функції в точці , або
,
.
Очевидно, коли функція неперервна в точці, то вона в цій точці є неперервна і зліва, і справа. Має місце така теорема.
Теорема. Для того, щоб функція була неперервна в даній точці, необхідно і достатньо, щоб вона була в цій точці неперервна справа і зліва.
Нехай функція визначена в усіх точках деякого проміжку , крім, можливо, внутрішньої точки .
Означення. Якщо функція в точці не є неперервною, то точка називається точкою розриву функції , а саме функція при цьому називається розривною в точці .
Отже, за означенням, будь-яка внутрішня точка проміжку , де визначена функція , є точкою розриву функції, якщо в цій точці порушується хоча б одна з трьох умов неперервності. Тому залежно від того, яка з цих умов не виконується, точки розриву поділяють на два роди.
Означення. Точка розриву функції називається точкою розриву першого роду, якщо в цій точці існують скінченні лівостороння і правостороння границі.
Якщо границі рівні між собою, то точка називається точкою усувного розриву.
Якщо границі скінченні, але не рівні, то точка називається точкою розриву типу “ стрибка “.
Означення. Точка розриву функції називається точкою розриву другого роду, якщо в цій точці не існує хоча б одна з односторонніх границь або дорівнює безмежності.
Приклади.
1. .
Функція визначена на всій числовій осі, за винятком точки . Знайдемо лівосторонню і правосторонню границі в цій точці:
Отже, одна функція в точці має розрив першого роду.
2.
Функція означена при всіх значеннях , крім . Односторонні границі:
Отже, точка є точкою розриву другого роду.
3.