Задачі геометричного і фізичного характеру, що приводять до диференціальних рівнянь. Диференціальні рівняння першого порядку. Задача Коші

План

•Вступні відомості про диференціальні рівняння

•Задачі геометричного і фізичного характеру, що приводять до диференціальних рівнянь

•Диференціальні рівняння першого порядку

•Задача Коші

•Геометрична інтерпретація диференціального рівняння першого порядку

12. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ

12.1. Вступні відомості про диференціальні рівняння

Звичайним диференціальним рівнянням називається рівняння, яке зв’язує незалежну змінну , невідому функцію та її похідні. Найвищий порядок похідної від шуканої функції, що входить в диференціальне рівняння, називається його порядком. Отже, загальний вигляд диференціального рівняння -го порядку такий:

.

Найпростіші диференціальні рівняння вже розглядалися при вивченні інтегрального числення. Справді, нехай дано функцію . Знайдемо її визначений інтеграл. Маємо: і, отже, .

Інтегруючи, отримаємо:

,

де – довільна стала.

Виявляється, що будь-яке диференціальне рівняння також має безліч розв’язків виду , де – довільна стала

Розглянемо приклади.

Задача 1. Записати рівняння кривої, якщо відомо, що точка перетину будь-якої дотичної до кривої з віссю абсцис однаково віддалена від точки дотику та від початку координат.

Зробимо схематичний рисунок (рис.12.1). Нехай т. - це точка в якій проводимо дотичну. - точка перетину дотичної з віссю . За умовою відстані та рівні, тобто .

Тоді

Піднесемо до квадрату обидві частини рівності та спростимо отриманий вираз

Запишемо рівняння дотичної:

де - координати точки дотику.

Рис.12.1