Функціональний ряд, область його збіжності. Cтепеневі ряди. Теорема Абеля. Інтервал і радіус збіжності степеневого ряду. Степеневі ряди за степенями (x-a)

(13.41)

Члени цього ряду менші за відповідні члени ряду

(13.42)

При ряд (13.42) представляє геометричну прогресію із знаменником , а, значить, він збігається. Оскільки члени ряду (13.41) менші за відповідні члени ряду (13.42), то ряд (13.41) також збігається (за теоремою порівняння). Це значить, що ряд (13.40) або (13.39) збігається абсолютно.

2) Нехай тепер ряд (13.39) в деякій точці розбігається. Тоді він розбігається і в довільній точці , що задовольняє умові

Дійсно, якщо б він збігався в деякій точці що задовольняє цій умові, то за першою частиною теореми він повинен збігатися і в точці оскільки Але це протирічить умові, що в точці ряд розбігається. Отже, ряд (13.39) розбігається і в точці Таким чином, теорема повністю доведена.

Теорема 2. Областю збіжності степеневого ряду (13.39) є інтервал з центром в початку координат.

Д о в е д е н н я. Дійсно, якщо є точка збіжності, то за теоремою Абеля весь інтервал заповнюється точками абсолютної збіжності. Якщо точка розбіжності, то вся безмежна напівпряма вправо від точки і вся напівпряма вліво від точки складаються із точок розбіжності.

Звідси можна зробити висновок, що існує таке число , що при ми маємо точки абсолютної збіжності, а при точки розбіжності.

Означення 2. Інтервалом збіжності степеневого ряду називається такий інтервал , що для довільної точки , що лежить всередині цього інтервалу, ряд збігається абсолютно, а для точок, що знаходяться поза ним, ряд розбігається (рис. 13.3). Число називається радіусом збіжності степеневого ряду.

На кінцях інтервалу (тобто при ) питання про збіжність або розбіжність даного ряду вирішується індивідуально для кожного конкретного ряду.

Ряд збігається

Рис.13.3

Якщо , то степеневий ряд збігається тільки в одній точці Якщо , то ряд збігається на всій числовій осі.

Вкажемо метод визначення радіуса збіжності степеневого ряду (13.39). Для цього розглянемо ряд, складений із абсолютних величин його членів:

(13.43)

Застосуємо ознаку Даламбера

,

де Тоді за ознакою Даламбера ряд (13.43) збігається, якщо , тобто якщо , і розбігається, якщо , тобто якщо

Отже, ряд (13.39) збігається абсолютно при і розбігається при За означенням 2 інтервал є інтервалом збіжності степеневого ряду (13.39), тобто

(13.44)