Числові ряди. Збіжність і розбіжність. Сума ряду. Дії над збіжними рядами. Необхідна ознака збіжності. Гармонічний ряд

В цьому випадку

Отже, границі немає і ряд в цьому випадку розбігається.

Таким чином, геометрична прогресія збігається тільки тоді, коли її знаменник за абсолютною величиною менший одиниці.

Приклад 2. Знайти суму ряду

Р о з в ‘ я з о к. Розкладемо дріб на простіші дроби

і

Частинна сума ряду

За означенням суми ряду

Теорема 1. На збіжність числового ряду не впливає відкидання або додавання скінченого числа його членів.

Д о в е д е н н я. Нехай сума перших членів ряду (1.1), сума відкинутих , сума членів ряду, що входять в суму і не входять в . Тоді маємо:

де постійне число, що не залежить від Із останнього співвідношення випливає існування скінченої границі при існуванні скінченої границі коли і, навпаки. А це доводить вірність даної теореми.

Теорема 2. Якщо ряд (13.1) збігається і його сума дорівнює то ряд

де яке-небудь постійне число, також збігається і його сума дорівнює

Д о в е д е н н я. Очевидно, що частинна сума даного ряду дорівнює і Теорема доведена.

Теорема 3. Якщо ряди

збігаються і їх суми, відповідно, дорівнюють і , то ряди

також збігаються і їх суми будуть

Д о в е д е н н я. Частинні суми даних рядів мають вигляд

Тоді і

що і доводить дану теорему.

2. Необхідна ознака збіжності ряду

При дослідженні рядів одним із головних питань є питання про те, чи збігається даний числовий ряд. Нижче будуть розглянуті достатні ознаки збіжності рядів. Тут ми розглянемо необхідну ознаку збіжності ряду, тобто встановимо умову, при невиконанні якої ряд розбігається.

Теорема. Якщо ряд (13.1) збігається, то його ий член прямує до нуля при

Д о в е д е н н я. Нехай ряд (13.1) збігається, тобто має місце рівність