Метод розгалужень і меж. Евристичні алгоритми. Застосування принципу оптимальності

додати T[i] до S[k]

end

За цим алгоритмом завдання (12, 8, 7, 5, 4) розподіляються як (12, 8+4, 7+5). Очевидно, що краще не може бути.

Проте розподіл завдань за цим алгоритмом не завжди є найкращим. Наприклад, завдання (12, 8, 7, 5, 4, 2) розподіляються за ним як (12+2, 8+4, 7+5) з вартістю 14, хоча є кращий розподіл (12, 8+5, 7+4+2) з вартістю 13.

Правило "передати чергове завдання до найменш завантаженого процесора", яким ми керувалися при розподілі завдань, є прикладом евристики. Взагалі, значенням цього слова є "мистецтво відшукання істини", а в інформатиці евристика – це правило, метод або прийом, призначений для підвищення ефективності пошуку розв'язку задачі [Сл].

Алгоритм, побудований на основі застосування евристики, називається евристичним. Як правило, евристичні алгоритми дозволяють швидко побудувати розв'язок задачі, але не завжди гарантують, що він дійсно буде найкращим.

Приклад 1. Розглянемо ще одну задачу та дві евристики для неї. Нехай, як і раніше, задано упорядкований за незростанням список часів виконання завдань T1, T2, … , Tn, але кількість процесорів не фіксовано. Замість цього задано час T0, і треба визначити найменшу кількість процесорів, яка забезпечує виконання всіх завдань у межах T0. Зрозуміло, що T0 T1.

Спочатку переформулюємо цю задачу в інших термінах. Час виконання завдання можна розглядати як об'єм предмету, а час T0 – як об'єм ящиків, по яких розподіляються предмети (форма ящиків та предметів неважлива). Отже, треба обчислити найменшу кількість ящиків, необхідних для розподілу всіх предметів. Тепер сформулюємо дві евристики.

Е1. "Перший прийнятний". Перший предмет кладемо в перший ящик. Другий також, якщо він там уміщається. Якщо не уміщається, то кладемо його в другий ящик. Взагалі, черговий предмет кладемо в ящик із найменшим номером, в якому він уміщається.

Е2. "Найкращий прийнятний". Черговий предмет кладеться в той ящик, у якому залишається найменший ще допустимий незайнятий об'єм. Якщо таких ящиків кілька, то з них вибираємо ящик із найменшим номером.

Запис відповідних евристичних алгоритмів залишаємо вправою.

3. Застосування принципу оптимальності

Знайомство з принципом оптимальності почнемо з розв'язання задачі.

Приклад 2. Нехай паперовий прямокутник складено з клітин – m по вертикалі та n по горизонталі. У кожній клітині записано натуральне число. Уявімо, що з прямокутника зробили вертикальний циліндр, з'єднавши першу та останню вертикалі. Ми можемо рухатися по клітинах циліндра та підраховувати суму чисел у них. Рух починається з будь-якої клітини першого кільця. Далі, якщо ми перебуваємо в якійсь клітині, то можемо перейти на наступне кільце в одну з тих трьох клітин, що мають спільні точки з поточною. Рух закінчується на останньому, m-му кільці клітин. Треба обчислити найбільшу суму, яку можна набрати на одному з можливих шляхів довжини m.

Якщо m=1, то достатньо вибрати клітину з найбільшим числом. Нехай m>1. Занумеруємо клітини кожного кільця числами від 0 до n-1. Позначимо через Cki число, записане в клітині з номером i у кільці k, а через Ski – найбільшу суму, яку можна набрати на шляху, що веде в цю клітину. Очевидно, що S1i =C1i. Для початку обчислимо для кожної клітини другого кільця найбільшу суму S2i на шляху довжини 2. За умовою задачі очевидно, що

S2i=C2i+max{S1, i-1, S1i, S1, i+1} за i=1, … , n-2,

S20=C20+max{S1, n-1, S10, S11}, S2,n-1=C2, n-1+max{S1, n-2, S1, n-1, S10}.