ПАСКАЛЬ: РЕКУРСИВНІ ОЗНАЧЕННЯ ТА ПІДПРОГРАМИ

procedure tow(h : integer; f, t, v : integer);

begin

if h=1 then disk(f, t) else

begin

tow(h-1, f, v, t); disk(f, t); tow(h-1, v, t, f)

end

end;

begin readln(n); tow(n, 1, 3, 2) end.

Очевидно, що глибина рекурсії викликів цієї процедури дорівнює значенню їх першого аргументу h.

Визначимо кількість переносів дисків як функцію f(n), де n – висота вежі. Очевидно, що f(1)=1, і що f(n)=2 f(n-1)+1. За принципом індукції неважко довести, що f(n)=2n-1. Значення f(64) дорівнює приблизно 1022. Якщо припустити, що кожної секунди ченці переносять один диск, то для переносу такої вежі потрібно приблизно 1015 років! Навіть якщо припустити, що комп'ютер здатний щосекунди друкувати по сто тисяч позначень переносів, то й тут знадобиться 1010 років. Кінець світу, мабуть, настане раніше…

4. "Індійський алгоритм" піднесення до степеняЦей алгоритм обчислення натурального n-го (n>0) степеня цілого числа x виглядає зовсім просто:

за n=1 xn = x,

за n>1 xn = xn mod 2 (xn div 2)2.

Основна мета цього алгоритму – скоротити кількість множень при піднесенні до степеня. Наприклад, за цим алгоритмом x5=x (x2)2, тобто достатньо три множення замість чотирьох: x x x x x. Одне множення економиться за рахунок того, що x2 зберігається як проміжне значення і множитися само на себе. Так само x10=1 (x5)2=(x5)2, що вимагає лише чотирьох множень (три з них для обчислення x5) замість дев'яти "лобових". Але тут доведеться зберігати спочатку x2, а потім x5.

Як бачимо, обчислення xn зводиться до обчислення xndiv2, запам'ятання його, піднесення до квадрату, та множення його на x за непарного n. Отже, обчислення xn описується рекурсивною функцією

function pow(x, n : integer) : integer;

var t : integer;

begin

if odd(n) then t:=x

else t:=1;

if n=1 then pow:=x

else pow:=t*sqr(pow(x, n div 2))