ІСААК НЬЮТОН (1643—1727 pp.)

Англійський уряд, беручи до уваги наукові заслуги і світову славу Ньютона, виявив своє піклування про нього. У 1705 р. королева Англії Анна, відвідавши Кембрідж, надала Ньютону дворянське звання і нагородила його титулом рицаря. У цей час Ньютон перебував на вершині своєї слави. Всі визнавали його виняткові заслуги в галузі науки і схилялись перед його генієм.

Ньютон зробив визначні відкриття; в галузі механіки, математики і астрономії. Усі найголовніші дослідження він провів у період перебування в Кембріджі. Одним з найвидатніших відкриттів Ньютона був метод обчислення нескінченно малих величин — «метод флюксій» (1665—1666 p.), остаточно оформлений і досконало викладений у вступі до трактату «Про квадратуру кривих» (видано лише в 1704 р. У цьому трактаті Ньютон пише, що він розглядає математичні кількості не як такі, що складаються з дуже малих сталих частин, а як такі, що утворюються неперервним рухом. Лінії описуються неперервним . рухом точок, поверхні — рухом ліній, об'єми — рухом поверхонь, кути — обертанням сторін і т. д. Він помітив залежність між швидкістю наростання «кількості» і «кількістю».

Змінні величини Ньютон назвав флюентами (загальним аргументом їх є час). Швидкості руху флюент, як похідні часу, він назвав флюксіями. Нескінченно малий приріст, якого набуває флюента за нескінченно малий проміжок часу, Ньютон назвав моментом.

Відкриття теорії флюксій було винайденням методів аналізу нескінченно малих величин, або диференціального і інтегрального числення.

У теорії флюксій було розв'язано дві основні взаємно обернені задачі.

Пряма задача. У термінології механіки — визначення швидкості руху в певний момент часу, якщо задано шлях. У математичній термінології — визначення співвідношення між флюксіями за заданим співвідношенням між флюентами. Це задача диференціювання неявної функції і знаходження диференціального рівняння.

Обернена задача. У термінології механіки — визначення пройденого шляху за певний час, якщо задано швидкість руху. У математичній термінології — визначення співвідношення між флюентами за певним співвідношенням між флюксіями. Це задача інтегрування диференціальних рівнянь.

У 1671 р. Ньютон переробив і науково обґрунтував теорію флюксій, маючи намір опублікувати її. Але видана вона була лише після його смерті у 1736 р.

Одночасно з Ньютоном і незалежно від нього ці дві задачі досліджував видатний німецький учений Готфрід Вільгельм Лейбніц (1646—1716рр.).

Ще до Ньютона і Лейбніца визначні математики — Архімед, Вал-ліс, Кавальєрі, Ферма, Роберваль, Барроу та ін. у своїх працях розробляли питання, пов'язані з теорією нескінченно малих величин, але тільки Ньютону і Лейбніцу пощастило розв'язати їх блискуче.

Свій мемуар Лейбніц опублікував у 1684—1686рр.

Титанічна праця двох великих учених поклала початок нової епохи у розвитку математики. Справдилася віковічна мрія вчених-математиків винайти єдині, узагальнюючі методи розв'язування задач, що приводять до потреби оперувати з нескінченно малими величинами.Це, зокрема, такі задачі, як знаходження площ круга і параболічного сегмента, поверхонь і об'ємів тіл обертання — циліндра, конуса, кулі та ін. Caмe «метод вичерпування» став передосновою нових винаходів. Але потрібно було близько двох тисяч років, щоб геніальні математики Лейбніц і Ньютон довели цей метод до логічного завершення у формі диференціального та інтегрального числень. Лейбніц говорив: «Хто оволодів творчістю Архімеда і Аполлонія, менше дивуватиметься відкриттям найвидатніших людей нашого часу». Ньютон свої думки висловив так: «Якщо я бачив далі, ніж інші, то це тому, що я стояв на плечах гігантів».

Кому ж з цих двох учених належить пріоритет у винайденні диференціального та інтегрального числень? З цього приводу в 1676 р. між Ньютоном і Лейбніцем почалося листування, з якого видно, що Ньютон не претендував на першість. Проте суперечки між науковими колами Німеччини й Англії не припинялись. На прохання Лейбніца питання було передано на розгляд Лондонському Королівському Товариству. Спеціальна комісія Товариства вирішила його на користь Ньютона.

Сучасна теорія диференціального та інтегрального числень принципово не відрізняється від теорії, сформульованої Ньютоном і Лейбніцем. Із змістом і формами цієї теорії можна ознайомитись за будь-яким підручником з математичного аналізу для вищої школи, а в спрощеному елементарному викладі - за підручником з математики для X класу середньої школи. У математичному трактаті про біном Ньютон виклав основні відомості про розклад бінома (a+b)n. Цей розклад тепер у шкільному курсі математики відомий під назвою формули Ньютона. Перші відомості про біном для цілих додатних показників, не більших за 18, були відомі і до Ньютона. Заслуга Ньютона полягає в тому, що він відкрив новий спосіб знаходження біноміальних коефіцієнтів і застосував його до розкладу з дробовим і від'ємним показником степеня. Досліджуючи процес розкладу бінома, Ньютон прийшов до необхідності вивчення властивостей нескінченних рядів. Свої висновки він виклав у двох невеликих працях, в одній з яких було подано метод розв'язування рівнянь 3-го степеня з числовими коефіцієнтами способом поступових наближень (він застосовується в алгебрі й тепер).